Question

13．如图所示，足够长的光滑绝源斜面与水平面成θ角放置，在斜面上两条虚线与斜面底边平行，且虚线区域MNPQ间分布着磁感应强度为B，垂直于斜面向下的匀强磁场，磁场宽度为3L．现有一总电阳为R，质量为m，边长为L的正方形金属线框AB．CD置于斜面上，保持AB边始终与斜面底边平行，从斜面上某处由静止下滑．当AB边刚进入磁场时，线框的加速度a方向沿斜面向下，且a=$\frac{3gsinθ}{4}$（g为重力加速度）．经过一段时间后，线框的AB边穿出磁场时恰好做匀速直线运动．求：
（1 ）AB边刚进入磁场时，通过金属线框的电流大小；
（2）金属线框从开始进入到恰好完全穿出磁场过程中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）AB边刚进入磁场时根据牛顿第二定律结合安培力的计算公式求解电流强度大小；
（2）线框刚穿出磁场时根据共点力的平衡条件结合安培力计算公式求解此时的速度大小，进入磁场时根据闭合电路的欧姆定律求解速度大小，根据能量守恒定律列方程求解产生的焦耳热．

解答 解：（1）设AB边刚进入磁场时通过金属线框的电流为I₁，根据牛顿第二定律可得：
mgsinθ-F_A=ma，
根据安培力的计算公式可得：F_A=BI₁L，
解得：I₁=$\frac{mgsinθ}{4BL}$；
（2）设线框刚穿出磁场时通过线框的电流强度无I₂，线框的速度为v，
则根据共点力的平衡条件可得：mgsinθ=$B{I}_{2}L=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
解得：v=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
而线框刚进入磁场时，I₁=$\frac{BL{v}_{0}}{R}$，
解得：v₀=$\frac{mgRsinθ}{4{B}^{2}{L}^{2}}$，
线框从刚进入磁场到完全离开磁场的过程中，根据能量守恒定律可得：
4mgLsinθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+Q$，
解得：Q=$4mgLsinθ-\frac{15{m}^{3}{R}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{32{B}^{4}{L}^{4}}$．
答：（1 ）AB边刚进入磁场时，通过金属线框的电流大小为$\frac{mgsinθ}{4BL}$；
（2）金属线框从开始进入到恰好完全穿出磁场过程中产生的焦耳热为$4mgLsinθ-\frac{15{m}^{3}{R}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{32{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．