Question

有一绝缘的、半径为R的光滑圆轨道固定在竖直平面内，在其圆心处固定一带正电的点电荷，现有一质量为m，也带正电（其电量远小于圆心处的电荷，对圆心处电荷产生的电场影响很小，可忽略）的小球A，圆心处电荷对小球A的库仑力大小为F．开始小球A处在圆轨道内侧的最低处，如图所示．现给小球A一个足够大的水平初速度，小球A能在竖直圆轨道里做完整的圆周运动．
（1）小球A运动到何处时其速度最小？为什么？
（2）要使小球A在运动中始终不脱离圆轨道而做完整的圆周运动，小球A在圆轨道的最低处的初速度应满足什么条件？

Answer 1

运动到轨道最高点时速度最小
在圆心处电荷产生的电场中，圆轨道恰好在它的一个等势面上，小球在圆轨道上运动时，库仑力不做功，当小球运动到圆轨道最高处时，其重力对它做的负功最多，此时速度最小．
在最低点，小球受到的电场力F与重力mg方向相同，小球不会脱离轨道．
在最高点，小球受到的电场力F与重力mg方向相反，
当F≥mg时，在最高点小球也不会脱离轨道．此时，小球在最高点的速度v应满足：v≥0        ①
小球从圆轨道最底处运动到最高处的过程中由动能定理得：
-mg×2R=

1

2

mv2-

1

2

m

v

20

             ②
由①和②解得：v0≥2

gR

                     
这就是在F≥mg条件下，小球在最低点速度应满足的条件在最高点．当F＜mg时，小球在最高点的速度v 应满足：
mg-F+FN=m

v2

R

          ③
F_N为轨道对小球向向下的压力，根据意知F_N≥0       ④
由②③④可解得：v0≥

5gR- FR m

 这就是在F＜mg条件下，小球在最低点速度应满足的条件．
答：（1）小球A运动到最高处时其速度最小，因为小球圆周运动过程中只有重力做功，根据动能定理有克服重力做功最多时，小球动能最小即速度最小．
（2）要使小球A在运动中始终不脱离圆轨道而做完整的圆周运动，小球A在圆轨道的最低处的初速度应满足：v0≥2

gR

（F≥mg），v0≥

5gR- FR m

（F＜mg）．