Question

如图所示，中轴线PQ将矩形区域MNDC分成上下两部分，上部分充满垂直纸面向外的匀强磁场，下部分充满垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度皆为B．一质量为m，带电量为q的带正电粒子从P点进入磁场，速度与边MC的夹角θ=30°．MC边长为a，MN边长为8a，不计粒子重力．求：
（1）若要该粒子不从MN边射出磁场，其速度最大值是多少？
（2）若要该粒子恰从Q点射出磁场，其在磁场中的运行时间最少是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）带电粒子进入磁场后，做匀速圆周运动，当该粒子恰好不从MN边射出磁场时，轨迹与MN相切，根据几何知识求出轨迹的半径，由牛顿第二定律求解速度的最大值．
（2）由几何知识得知，θ=30°，粒子每经过分界线PQ一次，在PQ方向前进的位移为轨迹半径的，粒子进入磁场后第n次经过PQ线时恰好到达Q点，则有nr=8a，是正整数，而且r＜a，再根据周期公式求出最少时间．
解答：解：（1）设该粒子恰不从MN边射出磁场时的轨迹半径为r，由几何关系得：
rcos60°=r-，解得  r=a     
又由 qvB=m         
解得最大速度为 v=       
（2）粒子每经过分界线PQ一次，在PQ方向前进的位移为轨迹半径R的倍．
有  nR=8a，且R＜a   
解得    n＞=4.62
n所能取的最小自然数为5．
粒子做圆周运动的周期为 T= 
粒子每经过PQ分界线一次用去的时间为  t==      
粒子到达Q点的最短时间为  t_min=5t= 
答：（1）若要该粒子不从MN边射出磁场，其速度最大值是．
（2）若要该粒子恰从Q点射出磁场，其在磁场中的运行时间最少是．
点评：本题中带电粒子的运动具有周期性，要运用数学上分析数列通项的方法进行研究，同时要考虑临界条件．