Question

17．宇航员在半径为R的星球表面完成了下列实验：他将一圆锥体固定，使其轴线竖直，再用长细线一端固定于圆锥体的顶点O，另一端拴一小球，让其在水平面内做匀速圆周运动，如图所示．他测得小球的运动周期为T时，恰好对圆锥体无压力，又测出O点到圆轨道面间的距离为h，已知万有引力常量为G．求：
（1）该星球表面重力加速度g；
（2）该星球质量M；
（3）在该星球表面发射卫星所需要的最小速度．

Answer 1

分析 （1）小球在水平面内做匀速圆周运动，由细线的拉力和重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律和向心力公式结合列式，可求得重力加速度g；
（2）根据重力等于万有引力，可求得星球的质量M．
（3）在该星球表面发射卫星所需要的最小速度等于其第一宇宙速度，根据重力等于向心力求解．

解答 解：（1）小球在水平面内做匀速圆周运动，由细线的拉力和重力的合力提供向心力，则得：
mgtanθ=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$htanθ        
则 g=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$h                       
（2）在星球表面的物体有：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=mg          
则 M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{2}h}{G{T}^{2}}$                     
（3）环绕该星球表面的卫星得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$   
则  v=$\frac{2π}{T}\sqrt{Rh}$
答：（1）该星球表面重力加速度g是$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$h；
（2）该星球质量M是$\frac{4{π}^{2}{R}^{2}h}{G{T}^{2}}$；
（3）在该星球表面发射卫星所需要的最小速度是$\frac{2π}{T}\sqrt{Rh}$．

点评 解决本题的关键找出物体的临界情况和卫星圆周运动的条件，能够熟练运用万有引力等于重力、万有引力等于向心力研究卫星问题．