Question

7．如图，在xOy平面内，有以O₁（R，0）为圆心和O₂（R，-3.57R ）为圆心，R=0.2m为半径的两个圆形磁场区域，y轴与圆O₂相切于A（0，-3.57R ）点，磁感应强度大小均为B=1.57×10^-4T，方向均垂直xOy平面向外，在y=R上方有范围足够大的匀强电场，方向水平向右，电场强度大小为E=2×10^-2N/C，在坐标原点O处有一粒子源，可以在xOy平面内向 y 轴右侧（x＞0）各个方向发射出速率相同的正、负带电的粒子，已知正、负带电粒子在该磁场中的偏转半径也均为R=0.2m，正、负带电粒子的比荷均为：$\frac{q}{m}$=5×10⁸C/kg． 不计粒子重力及阻力的作用．求：
（1）求粒子源发射出带电粒子的速度的大小；
（2）求速度方向沿x轴正方向射入磁场的正带电粒子到达y轴所需要的时间；
（3）求正、负带电粒子能够射到y轴上的范围．

Answer 1

分析 （1）由洛仑兹力提供向心力就能求出正负粒子射出的速度．
（2）先弄清粒子沿x轴正方向射入后向下偏转从点（R，-R）竖直向下射出⊙O₁圆形磁场区域再做匀速直线运动进入⊙O₂圆形磁场区域做匀速圆周运动打在y轴的A点，所以总时间是三段时间的和．
（3）所有正粒子均打到y轴上的A点，而负粒子从⊙O₁磁场区域后竖直向上进入电场做类平抛运动，由类平抛规律可以求出从最右边射出的负粒子打在y轴的位置最高．先求出时间，再求出向上匀速运动的位移，那么打在y轴上的范围就很容易求出．

解答 解：（1）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，其半径为R=0.2 m
  则：$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{R}$                  
  解得：v=$\frac{BqR}{m}$=1.57×10⁴m/s       
（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的正带电粒子的轨迹为半径为R=0.2 m四分之一圆周，从（R，-R）点沿y轴负
  方向射出磁场后做匀速直线运动，再进入O₂磁场区域做匀速圆周运动到达y轴上A点．正带电粒子进入O₂磁场区域
  的轨迹还是半径为R=0.2 m四分之一圆周．   
  在O₁磁场中运动的时间均为t₁=$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{2qB}$=2×10^-5s              
  做匀速直线运动的时间t₂=$\frac{1.57R}{v}$1=$\frac{1.57×0.2}{1.57×1{0}^{4}}s$=2×10^-5s   
  在O₂磁场中运动的时间为t₃=$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{2qB}$=2×10^-5s               
  正带电粒子运动到达y轴所需要的总时间：
  t=t₁+t₂+t₃=6×10^-5s       
（3）粒子源发射出所有带正电的粒子出磁场后均沿y轴负方向做匀速直线运动后再进入O₂磁场区域做匀速圆周运动
  而全部到达y轴上A（0，-3.57R）点，即带正电的粒子全部到达y轴上A点．
  粒子源发射出所有带负电的粒子射出磁场后均沿y轴正方向射入匀强电场而做类
  平抛运动．对最右边的带负电的粒子：
  $2R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$      而   Eq=ma
  解得：a=1×10⁷m/s²，t=$2\sqrt{2}$×10^-4s=2.828×10^-4 s        
  h=vt=1.57×10⁴m/s×2.828×10^-4s=4.44 m
  y_max=R+h=0.2 m+4.44 m=4.64 m          
  y_min=R=0.2 m
  负粒子在y轴上的范围：0.2 m到4.64 m（4.6 m ）之间       
答：（1）粒子源发射出带电粒子的速度的大小为1.57×10⁴m/s．
（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的正带电粒子到达y轴所需要的时间为6×10^-5s．     
（3）正、负带电粒子能够射到y轴上的范围是：正粒子均打在y轴的A点；负粒子打在y轴上范围是0.2m--4.64m．

点评 本题的巧妙之处在于：正负粒子是以相同的速率向各个方向射入圆形磁场，由于半径与磁场区域半径相同，则正负粒子向上偏转后均竖直向上进入电场，而正粒子竖直向下射出圆形磁场，当再次进入圆形磁场做匀速圆周运动后，由对称性则必都打在A点．