Question

11．ETC是不停车电子收费系统的简称，利用汁箅机联网技术可实现车量通过收费站不需停车交纳路费的目的．汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如所示．假设汽车以v₀=20m/s的速度初收费站沿直线行驶，如果过ETC通道，需要先做匀减速运动，在距收费站中心线前d=10m处正好减至v₁=4m/s，匀速通过中心线后，再匀加速至v₀正常行驶；如果过人工收费通逍，也需要先匀减速运动，恰好在中心线处停车，经过t₀=30s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v₀正常行驶．设汽车在减速和加速过程中的加速度大小均为2m/s²．求：

（1）汽车过ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移x大小；
（2）汽车过人工收费通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移x′大小；
 （3）汽车过ETC通道比过人工收费通道节约的时间△t是多少？

Answer 1

分析 （1）根据速度位移公式求出匀减速和匀加速运动的位移，结合匀速运动的位移得出从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小．
（2）根据速度位移公式求出匀减速和匀加速直线运动的位移，从而得出汽车过人工收费通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小．
（3）抓住走过的位移相等，结合速度时间公式分别求出各自的运动时间，从而得出节约的时间．

解答 解：（1）汽车过ETC通道时，匀减速直线运动的位移${x}_{1}=\frac{{{v}_{0}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}}{2a}=\frac{400-16}{2×2}m=96m$，
匀加速直线运动的位移与匀减速直线运动的位移相等，则x=2x₁+d=96×2+10m=202m．
（2）汽车过人工通道时，减速运动的位移${x}_{1}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}=\frac{400}{2×2}m=100m$，
则从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移x′=2x₁=200m．
（3）汽车通过ETC通道所需的时间${t}_{1}=2×\frac{{v}_{0}-{v}_{1}}{a}+\frac{d}{{v}_{1}}$=$2×\frac{20-4}{2}+\frac{10}{4}s=18.5s$，
在202m的位移内，若过人工通道，所需的时间${t}_{2}=2\frac{{v}_{0}}{a}+{t}_{0}+\frac{x-x′}{{v}_{1}}$=$2×\frac{20}{2}+30+\frac{202-200}{20}$s=50.1s，
则汽车过ETC通道比过人工收费通道节约的时间△t=t₂-t₁=50.1-18.5s=31.6s．
答：（1）汽车过ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移x大小为202m；
（2）汽车过人工收费通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移x′大小为200m；
 （3）汽车过ETC通道比过人工收费通道节约的时间△t是31.6s．

点评 解决本题的关键理清汽车在两种通道下的运动规律，结合匀变速直线运动的位移公式和时间公式进行求解．