Question

19．某行星外围有一圈厚度为d的发光带（发光的物质），简化为如图1所示模型，R为该行星除发光带以外的半径； 现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确地观测并发现发光带绕行星中心的运行速度与到行星中心的距离r的关系如图2所示（图中所标v₀为已知），则下列说法正确的是（　　）

• A． 发光带是该行星的组成部分
• B． 该行星的质量M=$\frac{{{v}_{0}}^{2}R}{G}$
• C． 行星表面的重力加速度g=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
• D． 该行星的平均密度为ρ=$\frac{3{{v}_{0}}^{2}R}{4πg（R+d）^{3}}$

Answer 1

分析 若光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同．若光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，由此列式分析．

解答 解：A、若光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同，应有v=ωr，v与r应成正比，与图不符，因此该光带不是该行星的组成部分，故A错误．
B、光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得该行星的质量为：M=$\frac{{v}^{2}r}{G}$
由图2知，r=R时，v=v₀，则有：M=$\frac{{{v}_{0}}^{2}R}{G}$．故B正确．
C、当r=R时有，mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，得行星表面的重力加速度g=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$．故C正确．
D、该行星的平均密度为 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{4πGR}$，故D错误．
故选：BC

点评 本题运用试探法分析，关键要知道光带是该行星的组成部分时，其角速度与行星自转角速度相同．光带是环绕该行星的卫星群时，由万有引力提供向心力．