Question

16．如图，两根电阻不计的平行光滑金属导轨相距L=0.5m水平放置，一端与阻值R=0.3Ω的电阻相连．导轨x＞0一侧存在沿x方向变化的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直，x=0处磁场的磁感应强度B₀=1T．一根质量m=0.1kg、电阻r=0.1Ω的金属棒垂直置于导轨上．棒在外力作用下从x=0处以初速度v₀=2m/s沿导轨向右运动，运动过程中速度v与位移x满足v=$\frac{2}{x+1}$关系，通过电阻的电流保持不变．求：
（1）金属棒运动过程中通过电阻R的电流；
（2）导轨x＞0一侧磁感应强度B_x随x变化关系；
（3）金属棒从x=0运动到x=2m过程中电阻R上产生的热量；
（4）金属棒从x=0运动到x=2m过程中外力的平均功率．

Answer 1

分析 （1）由法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律相结合，来计算感应电流的大小；
（2）由通过电阻的电流保持不变，可知金属棒切割磁感线产生的感应电动势始终相等，即可求解；
（3）由位移时间公式求出0-2s内棒通过的位移大小，由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式求解电荷量．
（4）依据功能关系，及动能定理可求出外力在过程中的平均功率．

解答 解：（1））开始时棒产生的电动势为：
E=B₀Lv₀=1×0.5×2=1V              
由闭合电路欧姆定律得回路中的感应电流为：
I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{1}{0.3+0.1}$A=2.5A           
（2）由通过电阻的电流保持不变，可知金属棒切割磁感线产生的感应电动势始终相等，所以有：B₀Lv₀=B_xLv_x，
解得：${B}_{x}=\frac{{B}_{0}{v}_{0}}{{v}_{x}}=\frac{1×2}{\frac{2}{x+1}}=x+1$
（3）金属棒在x处所受安培力的大小为：
F=B_xIL=（x+1）IL=1.25+1.25x
由于安培力与x成线性变化，所以在x=0到x=2m过程中克服安培力做功为：
$W=\frac{{F}_{0}+{F}_{2}}{2}•x=\frac{1.25+3.75}{2}×2J=5$J 
克服安培力做功等于在此过程中回路中产生的热量：Q=W=5J 
因此电阻R上产生的热量：${Q}_{x}=\frac{3}{4}Q=\frac{3}{4}×5J=3.75$J
（4）设x=0到x=2m过程外力的平均功率为$\overline{P}$，x=2m时金属棒的速度为：
${v}_{2}=\frac{2}{x+1}=\frac{2}{3}$m/s
通过电阻的电流保持不变，有：${Q}_{R}={I}^{2}Rt$
因此x=0到x=2m过程用时：$t=\frac{{Q}_{R}}{{I}^{2}R}=\frac{3.75}{2．{5}^{2}×0.3}s=2$s 
由动能定理有：$\overline{P}t-W=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
因此 $\overline{P}=\frac{0.5×0.1×（\frac{4}{9}-4）+5}{2}≈2.41$W
答：（1）金属棒运动过程中通过电阻R的电流是2.5A；
（2）导轨x＞0一侧磁感应强度B_x随x变化关系为B_x=x+1；
（3）金属棒从x=0运动到x=2m过程中电阻R上产生的热量是3.75J；
（4）金属棒从x=0运动到x=2m过程中外力的平均功率是2.41W．

点评 本题考查法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、安培力的大小公式、做功表达式、动能定理等的规律的应用与理解，运动过程中电阻上消耗的功率不变，是本题解题的突破口．