Question

15．2016年1月20日，美国加州理工学院的迈克•布朗和康斯坦丁•巴特金宣布发现太阳系柯伊柏带中有6颗天体的运行轨道异常，因此推测存在一颗未知的太阳系第九大行星．若某时刻该行星、太阳和地球在一条直线上，如图所示，已知该行星和地球绕太阳运行的半径是地球绕太阳运行半径的n倍，该行星和地球绕地球太阳同向做匀速圆周运动，则从此刻开始，该行星再次和太阳、地球在一条直线上需要的时间为（　　）

• A． 1年
• B． $\frac{n\frac{3}{2}}{2}$年
• C． $\frac{n\frac{2}{3}-1}{2{n}^{\frac{3}{2}}}$年
• D． $\frac{{n}^{\frac{3}{2}}}{2（{n}^{\frac{3}{2}}-1）}$年

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，结合周期与轨道半径的关系，根据地球的周期求出行星的周期，抓住经过t时间，地球和行星转过的角度相差π进行求解．

解答 解：根据G$\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，因为行星绕太阳运行的半径是地球绕太阳运行半径的n倍，则行星的周期是地球周期的${n}^{\frac{3}{2}}$倍，
根据$\frac{2π}{{T}_{地}}t-\frac{2π}{{T}_{行}}$t=2π得：T_地=1年，
解得：t=$\frac{{n}^{\frac{3}{2}}}{2（{n}^{\frac{3}{2}}-1）}$年．
故选：D．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，知道周期与轨道半径的关系，知道再次在同一直线上，地球比行星多走π角度．