Question

2．一个质量m=0.1kg的正方形金属框，其电阻R=0.5Ω，金属框放在表面绝缘且光滑的斜面顶端（金属框上边与AB重合），由静止开始沿斜面下滑，下滑过程中穿过一段边界与斜面底边CD平行、宽度为d的匀强磁场后滑至斜面底端（金属框下边与CD重合）．设金属 框在下滑过程中的速度为v，与此对应的位移为S，那么v²-s图象如图2所示，已知匀强磁场 方向垂直嵙面向上，取g=10m/s²
（1）根据v²-s图象所提供的信息，计算斜面的倾角θ和匀强磁场的宽度d
（2）计算匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）现用平行于斜面沿斜面向上的恒力F₁作用在金属框上，使金属框从斜面底端CD（金属 框下边与CD重合）由静止开始沿斜面向上运动，匀速通过磁场区域后，平行斜面沿斜面向上的恒力大小变为F₂，直至金属框到达斜面顶端（金属框上边与从AB重合）_c试计算恒力 F₁、F₂所做总功的最小值？（F₁、F₂虽为恒力，但大小均未知）．

Answer 1

分析 （1）从图中可以看出，金属框先做匀加速直线运动，再做匀速直线运动，再做匀加速直线运动，且磁场的宽度等于金属框的边长，根据v²-s图象求出匀加速运动的加速度，根据牛顿第二定律求出斜面的倾角．根据匀速运动过程求得磁场宽度d．
（2）根据匀速直线运动时重力沿斜面方向的分力等于安培力求出磁感应强度．
（3）未入磁场 F-mgsinθ=ma₂，进入磁场F=mgsinθ+F_安，所以F_安=ma₂，通过安培力做功求出克服安培力做功产生的热量，在整个过程中重力势能的增加量可以求出，要计算恒力F做功的最小值，只要线框到达最高点的速度为0，此时做功最小．然后根据能量守恒进行求解．

解答 解：（1）从s=0到s=1.6米的过程中，由匀变速直线运动的速度位移公式得：
v²=2as，
则该段图线斜率：a=5m/s²，
由牛顿第二定律得：mgsinθ=ma，
解得：θ=30⁰；
从线框下边进磁场到上边出磁场，均做匀速运动，由图示图象可知：△s=2.6-1.6=1m，d=△s-L=0.5m；
（2）由图象可知，线框通过磁场时，v₁²=16，v₁=4m/s，
安培力：F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$，
由平衡条件得：mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$，
代入数据解得：B=0.5T；
（3）金属框在进入磁场前，由牛顿第二定律得：
F₁-mgsinθ=ma₂，
在磁场中运动，由平衡条件得：F₁=mgsinθ+F_安，
解得：F_安=ma₂，
加速度为：a₂=$\frac{{v}^{2}}{2{s}_{3}}$，
安培力：F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
解得：v=2m/s，a₂=2.5m/s²，F_安=ma₂=0.25N，
最小功为：W=2F_安d+mgsinθ（s₁+s₂+s₃）
代入数据解得：W=1.95J；
答：（1）斜面的倾角θ=30⁰，匀强磁场的宽度为0.5m；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小为0.5T；
（3）所做总功的最小值为1.95J．

点评 解决本题的关键读懂图象，知道金属框先做匀加速直线运动，再做匀速直线运动，再做匀加速直线运动，并能判断出磁场的宽度等于金属框的边长．