Question

16．宇航员在地球表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧伸长量为x₀，如果宇航员到站在某星上，仍用该弹簧测力计测量质量为m的物体重力，已知某星的质量为地球质量的$\frac{1}{8}$，某星的半径为地球半径的$\frac{1}{2}$，忽略星球的自转，已知地球的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G．求：
（1）弹簧的劲度系数k；
（2）在某星上测量物体重力时，弹簧的伸长量x；
（3）求某星的密度ρ．

Answer 1

分析 （1）根据胡克定律和力的平衡求劲度系数k
（2）先求出星球表面的重力加速度，再根据胡克定律求在星球上弹簧的伸长量
（3）根据密度公式求星球的密度

解答 解：（1）根据题意，在地球上有：$mg=k{x}_{0}^{\;}$
解得：$k=\frac{mg}{{x}_{0}^{\;}}$
（2）在地球表面：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
在某星球表面：$mg′=G\frac{\frac{1}{8}M•m}{（\frac{1}{2}R）_{\;}^{2}}$
解得：$g′=\frac{1}{2}g$
在星球表面，mg′=kx
即：$m•\frac{1}{2}g=\frac{mg}{{x}_{0}^{\;}}x$
解得：$x=\frac{1}{2}{x}_{0}^{\;}$
（3）地球表面：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
得地球质量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
星球的质量$M′=\frac{1}{8}M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{8G}$
星球的体积$V′=\frac{4}{3}π（\frac{R}{2}）_{\;}^{3}=\frac{1}{6}π{R}_{\;}^{3}$
星球的密度
$ρ=\frac{M′}{V′}=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{8G}×\frac{6}{π{R}_{\;}^{3}}=\frac{3g}{4πRG}$
答：（1）弹簧的劲度系数k为$\frac{mg}{{x}_{0}^{\;}}$；
（2）在某星上测量物体重力时，弹簧的伸长量x为$\frac{1}{2}{x}_{0}^{\;}$；
（3）求某星的密度ρ为$\frac{3g}{4πRG}$．

点评 本题考查了万有引力定律和胡克定律等知识点，关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2万有引力提供向心力，并能灵活运用