Question

20．“北斗卫星导航系统”是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统已成功应用于测绘、电信、水利、渔业、交通运输、森林防火、减灾救灾和公共安全等诸多领域，产生了显著的经济效益和社会效益．“北斗卫星导航系统”空间段由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成，示意图如图所示．
图中A、B轨道均可视为圆轨道，其半径分别约为4.2×10⁴km和2.8×10⁴km．求：
（1）在A、B轨道上运行的卫星向心加速度之比$\frac{a_A}{a_B}$；
（2）在A、B轨道上运行的卫星周期之比$\frac{T_A}{T_B}$．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，得出加速度与轨道半径的关系，从而求出向心加速度之比．
（2）根据万有引力提供向心力，得出周期与轨道半径的关系，从而得出周期之比．

解答 解：（1）设地球质量为M，在A、B轨道上运行的卫星质量分别为m_A和m_B．根据万有引力定律和牛顿第二定律$G\frac{{M{m_A}}}{R_A^2}={m_A}{a_A}$
$G\frac{{M{m_B}}}{R_B^2}={m_B}{a_B}$
解得$\frac{a_A}{a_B}=\frac{R_B^2}{R_A^2}=\frac{4}{9}$
（2）根据万有引力定律和牛顿第二定律$G\frac{{M{m_A}}}{R_A^2}={m_A}{（\frac{2π}{T_A}）^2}{R_A}$
$G\frac{{M{m_B}}}{R_B^2}={m_B}{（\frac{2π}{T_B}）^2}{R_B}$
解得$\frac{T_A}{T_B}={（{\frac{R_A}{R_B}}）^{\frac{3}{2}}}=\sqrt{\frac{27}{8}}$．
答：（1）在A、B轨道上运行的卫星向心加速度之比为4：9．
（2）在A、B轨道上运行的卫星周期之比为$\sqrt{\frac{27}{8}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，知道周期、线速度、角速度、向心加速度与轨道半径的关系．