Question

10．如图所示，质量为m、半径为R的圆形光滑绝缘轨道放在水平地面上固定的M、N两竖直墙壁间，圆形轨道与墙壁间摩擦忽略不计，在轨道所在平面加一竖直向上的场强为E的匀强电场．P、Q两点分别为轨道的最低点和最高点，在P点有一质量为m，电荷量为q的带正电的小球，现给小球一初速度v₀，使小球在竖直平面内做圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）

• A． 小球通过P点时对轨道一定有压力
• B． 小球通过P点时的速率一定大于通过Q点时的速率
• C． 从P到Q点的过程中，小球的机械能增大
• D． 若mg＞qE，要使小球能通过Q点且保证圆形轨道不脱离地面，速度v₀应满足的关系是：$\sqrt{5gR-\frac{5qER}{m}}$≤v₀＜$\sqrt{6gR-\frac{5qER}{m}}$

Answer 1

分析 根据动能定理，结合牛顿第二定律与向心力表达式，即可求解速度的最小值，再根据条件：要保证圆形轨道不脱离地面，N′＜mg，并结合牛顿第二定律，来确定最大速度，从而即可求解．

解答 解：A、通过受力分析，当电场力和重力刚好提供所需向心力时，对轨道无压力，故A错误；
B、当电场力重力时，由动能定理可知：2qER-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$，得v_Q大于v_P，故B错误；
C、从P到Q点的过程中，电场力做正功，故机械能增加，故C正确；
D、当电场力大于重力时，由动能定理：2qER-2mgR=$\frac{1}{2}$mv_Q²-$\frac{1}{2}$mv₀²…①
小球恰能通过Q点时，mg-qE=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…②
联立①②解得：v₀=$\sqrt{5gR-\frac{5qER}{m}}$；
所以要使小球能通过Q点v₀≥$\sqrt{5gR-\frac{5qER}{m}}$；
设小球通过Q点时，轨道对小球的压力为N，小球对轨道的压力为N'
由牛顿第三定律的N=N′
要保证圆形轨道不脱离地面，N′＜mg；
即N＜mg
受力分析，解得：mg-qE+N=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…③
解①③得：v₀＜$\sqrt{6gR-\frac{5qER}{m}}$
所以得：$\sqrt{5gR-\frac{5qER}{m}}$≤v₀＜$\sqrt{6gR-\frac{5qER}{m}}$，故D正确
故选：CD．

点评 考查动能定理与牛顿第二、三定律的应用，掌握谁提供向心力是解题的关键，同时注意力做功的正负．