Question

14．我国的月球探测计划“嫦娥工程”分为“绕、落、回”三步．“嫦娥三号”的任务是“落”．2013年12月2日，“嫦娥三号”发射，经过中途轨道修正和近月制动之后，“嫦娥三号”探测器进入绕月的圆形轨道I．12月12日卫星成功变轨，进入远月点P、近月点Q的椭圆形轨道II，如图所示． 2013年12月14日，“嫦娥三号”探测器在Q点附近制动，由大功率发动机减速，以抛物线路径下降到距月面100米高处进行30s悬停避障，之后再缓慢竖直下降到距月面高度仅为数米处，为避免激起更多月尘，关闭发动机，做自由落体运动，落到月球表面．
已知引力常量为G，月球的质量为M，月球的半径为R，“嫦娥三号”在轨道I上运动时的质量为m，P、Q点距月球表面的高度分别为h₁、h₂．
（1）求“嫦娥三号”在圆形轨道I上运动的速度大小；
（2）已知“嫦娥三号”与月心的距离为r时，引力势能为$Ep=-\frac{GMm}{r}$（取无穷远处引力势能为零），其中m为此时“嫦娥三号”的质量．若“嫦娥三号”在轨道II上运动的过程中，动能和引力势能相互转化，它们的总量保持不变．已知“嫦娥三号”经过Q点的速度大小为v，请根据能量守恒定律求它经过P点时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）在轨道I上圆周运动时，万有引力提供圆周运动向心力，据此求得卫星的线速度大小；
（2））根据机械能守恒由引力势能的表达式，求得卫星在P点的动能，由动能求得速度大小；

解答 解：（1）“嫦娥三号”在轨道I上运动的过程中万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{Mm}{{{{（R+{h_1}）}^2}}}=m\frac{v_1^2}{{R+{h_1}}}$
解得：v₁=$\sqrt{\frac{GM}{{R+{h_1}}}}$
（2）“嫦娥三号”在轨道II上运动的过程中，由机械能守恒定律：
$-\frac{GMm′}{R+{h}_{1}}+\frac{1}{2}m′{v}_{p}^{′2}=\frac{GMm′}{R+{h}_{2}}+\frac{1}{2}m′{v}^{2}$
据此解得：
${v}_{p}^{′}$=$\sqrt{{v^2}-\frac{2GM}{{R+{h_2}}}+\frac{2GM}{{R+{h_1}}}}$
答：（1）“嫦娥三号”在圆形轨道I上运动的速度大小为$\sqrt{\frac{GM}{{R+{h_1}}}}$；
（2）它经过P点时的速度大小为$\sqrt{{v^2}-\frac{2GM}{{R+{h_2}}}+\frac{2GM}{{R+{h_1}}}}$．

点评 根据万有引力提供圆周运动向心力，求得卫星的速度，卫星由Q向P运动过程中只受月球引力作用，满足机械能守恒．