Question

（2005?广东）已知万有引力常量G，地球半径R，月球与地球间距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T₁，地球自转周期
T₂，地球表面的重力加速度g．某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：
同步卫星绕地心做圆周运动，由G

Mm

h2

=m(

2π

T2

)2h得M=

4π2h3

G T 2 2

（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果．
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法，并解得结果．

Answer 1

分析：（1）根据万有引力提供向心力，列式求解，地球半径较大，不能忽略；
（2）对月球或地球应用万有引力提供向心力，也可根据在地球表面重力等于向心力求解．

解答：解：（1）上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略，正确解法和结果：
G

mM

(R+h)2

=m(

2π

T

)2(R+h)
得    M=

4π2(R+h)3

G T 2 2

（2）方法一：月球绕地球做圆周运动，
由G

Mm

r 2

=mr(

2π

T1

)2得M=

4π2r3

G T 2 1

；
方法二：同步卫星绕地球做圆周运动，
G

mM

(R+h)2

=m(

2π

T

)2(R+h)
得 M=

4π2(R+h)3

G T 2 2

；
方法三：在地面重力近似等于万有引力，
由G

Mm

R 2

=mg
得  M=

gR2

G

．

点评：本题关键抓住万有引力提供向心力或在地球表面重力等于万有引力．