Question

12．如图a为一研究电磁感应的实验装置示意图，其中电流传感器（相当于一只理想的电流表）能将各时刻的电流数据实时通过数据采集器传输给计算机，经计算机处理后在屏幕上同步显示出I-t图象．足够长光滑金属轨道电阻不计，倾角θ=30°．轨道上端连接有阻值R=1.0Ω的定值电阻，金属杆MN电阻r=0.5Ω，质量m=0.2kg，杆长L=1m．在轨道区域加一垂直轨道平面向下的匀强磁场，让金属杆从图示位置由静止开始释放，此后计算机屏幕上显示出如图b所示的I-t图象（设杆在整个运动过程中与轨道垂直，g=10m/s²）．试求：

（1）t=0.5s时电阻R的热功率；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）若在0～1.2s内棒沿斜面下滑的距离为x=3.096m，求在0～1.2s内在R上产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）由b图读出t=0.5s时电路中电流，由公式P=I²R求出电阻R的热功率；
（2）由b图读取金属杆达到稳定运动时的电流，此时杆受力平衡，由平衡条件和安培力公式求解磁感应强度B的大小；
（3）通过电阻的电量等于图线与t轴包围的面积大小，估算出图线所包围的面积，即可求得通过电阻的电量，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律得到感应量q=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{BLx}{R+r}$，即可求出杆通过的距离x，根据能量守恒定律求出电路中产生的总热量Q，R上产生的焦耳热Q_R=$\frac{R}{R+r}Q$．

解答 解：（1）由I-t图象可知当t=0.5s时，I=1.10A；
P=I²R=1.10²×1.0W=1.21W
（2）由图知，当金属杆达到稳定运动时的电流为1.60A，
稳定时杆匀速运动，受力平衡，则有：mgsinθ=BIL
解得$B=\frac{mgsinθ}{IL}=\frac{0.2×10×0.5}{1.60×1}{T}=0.625{T}$
（3）1.2s内通过电阻的电量为图线与t轴包围的面积，由图知：
总格数为129格，故q=129×0.1×0.1C=1.29C
由图知：1.2s末杆的电流I=1.50A
由闭合电路欧姆定律得 I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BLv}{R+r}$
得 v=$\frac{I（R+r）}{BL}$=$\frac{1.50×（1+0.5）}{0.625×1}m/s=3.6m/s$
电量q=$\frac{E}{R+r}△t$=$\frac{△Φ}{△t}$$•\frac{△t}{R+r}$=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{BLx}{R+r}$
解得x=$\frac{q（R+r）}{BL}$=$\frac{1.29×（1+0.5）}{0.625×1}$m=3.096m
根据能量守恒得 mgxsinθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+Q
解得电路中产生的总热量为 Q=mgxsinθ-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$（0.2×10×3.096×0.5-\frac{1}{2}×0.2×{3.6^2}）{J}=1.8{J}$
在R上产生的焦耳热 ${Q_R}=\frac{R}{R+r}Q=\frac{1.0}{1.0+0.5}×1.8{J}=1.2{J}$
答：（1）t=0.5s时电阻R的热功率是1.21W；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小是0.625T；
（3）0～1.2s内通过电阻R的电量大小是1.29C，在R上产生的焦耳是1.2J．

点评 本题的难点有两个：一是抓住电流图象“面积”的意义，估算出通过R的电量；二是根据感应电量q=$\frac{△Φ}{R+r}$求出杆通过的距离．