Question

16．如图，一个半径为R的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的．一根轻质细线跨在碗口上，线的两端分别系有小球A和B，当它们处于平衡状态时，小球A与O点的连线与水平线的夹角为60°．
（1）求小球A与小球B的质量比m_A：m_B；
（2）现将A球质量改为2m、B球质量改为m，且开始时A球位于碗口C点，由静止沿碗下滑，当A球滑到碗底时，求两球总的重力势能改变量；（B球未碰到碗壁）
（3）在（2）条件下，当A球滑到碗底时，求B球的速度大小．

Answer 1

分析 （1）先对m_B球受力分析，受重力和拉力，二力平衡，求出拉力；再对m_A球受力分析，根据共点力平衡条件列式求解．
（2）（3）A球在碗底时，v_A不等于v_B，应将v_A沿绳和垂直于绳的方向分解，沿绳子方向的分速度即等于你B球的速度v_B的大小．再根据机械能守恒定律列式解决．

解答 解：（1）设绳的张力为T，对A球进行受力分析，有Nsin60°+Tsin60°=m_Ag        
Ncos60°=Tcos60°
对B球进行受力分析，有 T=m_Bg
可解得：${m_A}：{m_B}=\sqrt{3}：1$
（2）A球的重力势能改变量为△E_pA=-m_AgR=-2mgR
B两球的重力势能改变量为 $△{E_{pB}}={m_B}g•\sqrt{2}R=\sqrt{2}mgR$
所以A、B两球总的重力势能改变量为   $△{E_p}=△{E_{pA}}+△{E_{pB}}=-（{2-\sqrt{2}}）mgR$
（3）当A球滑到碗底时，设A、B两球的速度分别为v_A、v_B，则v_Acos45°=v_B （1）
根据A、B两球总机械能守恒，有△E_K+△E_p=0            （2）
即$\frac{1}{2}{m_A}{v_A}^2+\frac{1}{2}{m_B}{v_B}^2-（{2-\sqrt{2}}）mgR=0$             （3）
联立以上三式，解得：${v_B}=\sqrt{\frac{{2（{2-\sqrt{2}}）}}{5}gR}$（或$\sqrt{0.23gR}$或$0.48\sqrt{gR}$）
答：（1）小球A与小球B的质量比m_A：m_B；为$\sqrt{3}$：1；
（2）现将A球质量改为2m、B球质量改为m，且开始时A球位于碗口C点，由静止沿碗下滑，当A球滑到碗底时，两球总的重力势能改变量为-（2-$\sqrt{2}$）mgR；（B球未碰到碗壁）
（3）在（2）条件下，当A球滑到碗底时，B球的速度大小为$\sqrt{0.23gR}$．

点评 本题是简单的连接体问题，先分析受力最简单的物体，再分析受力较复杂的另一个物体，同时要运用正交分解法处理较为方便．
注意连接体中两个物体的速度大小不一定相等．要应用速度的分解求出两个小球的速率关系．