Question

7．如图所示，质量均为m、电荷量均为q的两带异种电荷的粒子从O点进入边界水平的匀强磁场中，带负电粒子的速度v₁=v₀，方向与磁场水平边界MN的夹角α=30°，带正电粒子的速度v₂=$\sqrt{3}$v₀，两粒子速度方向垂直．已知匀强磁场的磁感应强度为B、方向垂直纸面向里，两粒子同时到达磁场边界，不计重力及粒子间相互作用．
（1）求两粒子在磁场边界上的穿出点间的距离d．
（2）求两粒子进入磁场的时间间隔△t．
（3）若MN下方有平行于纸面的匀强电场，且两粒子出磁场后即在电场中相遇，其中带负电粒子做直线运动．求电场强度E的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）作出两粒子的运动轨迹，由牛顿第二定律求出半径，结合几何知识求出d；
（2）根据公式t=$\frac{θ}{2π}$T求运动时间；
（3）由题意，电场强度的方向应与粒子1穿出磁场的方向平行，分为与粒子速度方向相同和相反两种情况进行讨论．

解答 解：（1）粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动：

根据牛顿第二定律：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
粒子1圆周运动的圆心角θ₁=$\frac{5}{3}$π，OA=2r₁sinθ₁            
粒子2圆周运动的圆心角θ₂=$\frac{2}{3}$π，OB=2r₂sinθ₂
故d=OA+OB=2r₁sin30°+2r₂sin60°=$\frac{4m{v}_{0}}{qB}$
（2）粒子圆周运动的周期为：T=$\frac{2πr}{v}$
粒子1在匀强磁场中运动的时间为：t₁=$\frac{{θ}_{1}}{2π}$T
粒子2在匀强磁场中运动的时间为：t₂=$\frac{{θ}_{2}}{2π}$T
所以有：△t=t₁-t₂=$\frac{πm}{3qB}$
（3）由题意，电场强度的方向应与粒子1穿出磁场的方向平行．

情况一：若电场强度的方向与MN成30°角斜向右上，则粒子1做匀加速直线运动，粒子2做类平抛运动．
Eq=ma   
ABcos30°=v₁t-$\frac{1}{2}$at²-$\frac{1}{2}$at²
ABsin30°=v₂t 
解得：E=$\sqrt{3}$Bv₀ 
情况二：若电场强度的方向与MN成30°角斜向左下，则粒子1做匀减速直线运动，粒子2做类平抛运动．
Eq=ma
ABcos30°=v₁t-$\frac{1}{2}$at²-$\frac{1}{2}$at²
ABsin30°=v₂t
解得：E=-$\sqrt{3}$Bv₀，假设不成立，
综上所述，电场强度的大小E=3Bv₀，方向与MN成30°角斜向右上．   
答：（1）两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离是$\frac{4m{v}_{0}}{Bq}$；
（2）两粒子进入磁场的时间间隔是$\frac{πm}{3qB}$；
（3）若MN下方有平行于纸面的匀强电场，且两粒子在电场中相遇，其中的粒子1做直线运动．电场强度E的大小为$\sqrt{3}$Bv₀，方向与MN成30°角斜向右上．

点评 本题考查带电粒子在磁场中和电场中运动的问题，解题关键是要正确画出粒子轨迹过程图，再与几何关系联立，对学生几何能力要求较高，注意第（3）问由于电场的方向不确定，所以存在两种可能的情况，注意分析取舍．