Question

“神舟六号”载人飞船于2005年10月12日上午9点整在酒泉航天发射场发射升空．由长征运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h₁，飞船飞行五周后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示．在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，于10月17日凌晨在内蒙古草原成功返回．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R．求：
（1）飞船在A点的向心加速度大小．
（2）远地点B距地面的高度．
（3）若已知地球同步卫星的轨道半径为R₀，求“神舟六号”载人飞船在预定圆轨道上的运行速度与地球同步卫星的运行速度比值．

Answer 1

分析：（1）根据万有引力公式以及黄金代换式GM=gR²，求出飞船在A点所受的合力，从而求出加速度．
（2）根据万有引力提供向心力，

GMm

r2

=

m?4π2r

T2

，已知周期，求出轨道半径，从而求出高度．
（3）根据万有引力提供向心力表示出运行速度去进行比较．

解答：解：（1）飞船在A点所受的万有引力F=

GMm

(R+h1)2

．
        由黄金代换式GM=gR²，得F=

gR2m

(R+h1)2

根据牛顿第二定律a=

F

m

=

gR2

(R+h1)2

（2）根据万有引力提供向心力，

GMm

r2

=

m?4π2r

T2

，
T=

t

n

 由黄金代换式GM=gR²，
所以r=

3	gR2t2 4π2n2

故远地点B距地面的高度为h₂=

3	gR2t2 4π2n2

-R
（3）根据万有引力提供向心力F=

GMm

r2

=

mv2

r

．
v=

GM r

“神舟六号”载人飞船在预定圆轨道上的运行速度与地球同步卫星的运行速度比值：

v1

v2

=

R0 R+h2

=

R0 3 gR2t2 4π2n2

答：（1）飞船在A点的向心加速度大小是

gR2

(R+h1)2

；
（2）远地点B距地面的高度是h₂=

3	gR2t2 4π2n2

-R．
  
（3）“神舟六号”载人飞船在预定圆轨道上的运行速度与地球同步卫星的运行速度比值是

R0 3 gR2t2 4π2n2

．

点评：解决本题的关键掌握黄金代换式GM=gR²，万有引力提供向心力，

GMm

r2

=

m?4π2r

T2

．