Question

如图所示，质量为M=400g的铁板固定在一根轻弹簧上方，铁板的上表面保持水平．弹簧的下端固定在水平面上，系统处于静止状态．在铁板中心的正上方有一个质量为m=100g的木块，从离铁板上表面高h=80cm处自由下落．木块撞到铁板上以后不再离开，两者一起开始做简谐运动．木块撞到铁板上以后，共同下降了l₁=2.0cm时刻，它们的共同速度第一次达到最大值．又继续下降了l₂=8.0cm后，它们的共同速度第一次减小为零．空气阻力忽略不计，重力加速度取g=10m/s²．求：
（1）若弹簧的弹力跟弹簧的形变量成正比，比例系数叫做弹簧的劲度，用k表示．求本题中弹簧的劲度k．
（2）从木块和铁板共同开始向下运动到它们的共同速度第一次减小到零过程中，弹簧的弹性势能增加了多少？
（3）在振动过程中，铁板对木块的弹力的最小值N是多少？

Answer 1

分析：（1）M静止时，根据平衡条件列式；速度最大时，M、m组成的系统加速度为零，根据平衡条件列式；然后联立求解．
（2）m先自由落体，根据动能定理求解出碰撞前的速度；碰撞过程动量守恒，根据守恒定律求解出碰后速度；根据机械能守恒定律求解弹性势能的增加量．

解答：解：（1）M静止时，设弹簧压缩量为l₀，则
Mg=kl₀ ①
速度最大时，M、m组成的系统加速度为零，则
（M+m）g-k（l₀+l₁）=0     ②
联立①②解得：k=50N/m      ③
（2）m下落h过程中，mgh=

1

2

mv₀²                      ④
m冲击M过程中，m与M系统动量守恒：m v₀=（M+m）v       ⑤
所求过程的弹性势能的增加量：
△E=（M+m）g（l₁+l₂）+

1

2

（M+m）v² ⑥
联立④⑤⑥解得：△E=0.66J  
（3）由简谐运动的规律知，最高点和最低点的加速度大小相等、方向相反，
最高点木块加速度方向向下，处于失重状态，铁板对木块的弹力最小，
设为F，则有：kl₂=（M+m）a
mg-F=ma
解得：F=0.2N
答：（1）弹簧的劲度系数k为50N/m．
（2）从木块和铁板共同开始向下运动到它们的共同速度第一次减小到零的过程中，弹簧的弹性势能增加了0.66J．
（3）铁板对木块的弹力的最小值N是0.2N．

点评：本题关键明确m与M运动规律，同时结合动能定理、机械能守恒、动量守恒定律、平衡条件列方程后联立求解．