Question

8．如图所示，AB为固定在竖直平面内的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道，轨道的B点与水平地面相切，其半径为R．质量为m的小球由A点静止释放，求：
（1）小球滑到最低点B时，小球速度v的大小；
（2）小球刚到达最低点B时，轨道对小球支持力F_N的大小；
（3）小球通过粗糙的水平面BC滑上固定光滑曲面，恰达最高点D，后返回滑到到水平面BC的中点停下，求D到地面的高度为h．

Answer 1

分析 （1）小球从A滑至B的过程中，支持力不做功，只有重力做功，根据机械能守恒定律或动能定理列式求解小球滑到最低点B时的速度；
（2）在圆弧最低点B，由小球所受重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解轨道对小球的支持力；
（3）对小球从A运动到D的整个过程和D到BC中点的过程，分别运用动能定理列式求解h．

解答 解：（1）小球从A滑至B的过程，由动能定理得：
$mgR=\frac{1}{2}m{v^2}$
则得小球滑到最低点B时的速度为：
$v=\sqrt{2gR}$
（2）在B点，由牛顿第二定律得：
${F_N}-mg=m\frac{v^2}{R}$
则得：F_N=3mg
（3）从A到D的过程，由动能定理得：
mg（R-h）-f•S_BC=0-0
从D到BC中点的过程，由动能定理得：
mgh-f•$\frac{1}{2}$S_BC=0 
解得：$h=\frac{2}{3}R$
答：（1）小球滑到最低点B时，小球速度v的大小为$\sqrt{2gR}$；
（2）小球刚到达最低点B时，轨道对小球支持力F_N的大小是3mg；
（3）D到地面的高度为h是$\frac{2}{3}$R．

点评 本题关键在于灵活地选择运动过程运用动能定理列式，动能定理不涉及运动过程的加速度和时间，对于曲线运动同样适用．