Question

如图所示，两个质量相等而粗糙程度不同的物体m₁和m₂，分别固定在一细棒的两端，放在一倾角为α的斜面上，设m₁和m₂与斜面的摩擦因数为μ₁和μ₂，并满足tanα=

μ1μ2

，细棒的质量不计，与斜面不接触，试求两物体同时有最大静摩擦力时棒与斜面上最大倾斜线AB的夹角θ的余弦值（最大静摩擦力依据滑动摩擦力公式计算）

Answer 1

分析：分别对两个小球受力分析，做出重力沿斜面分力、杆的弹力、摩擦力三者的矢量关系图，然后运用余弦定理．

解答：解：系统处于平衡时，两物体所受轻杆的作用等值反向，沿斜面方向物体受力平衡，矢量关系如图：

在力矢量三角形中运用余弦定理：
b²=（2c）²+a²-4accosφ
cosφ=

4c2+a2-b2

4ca

sinφ=

(4ac)2-(4c2+a2-b2)

4ac

a、b、c表示各力如图中所对应，
又由余弦定理：（

asinφ

sinθ

）²=a²+c²-2accosφ
sin²θ=

a2sin2φ

a2+c2-2accosφ

=1-

(a2-b2)2

8c2(a2+c2-2c2)

则cosθ=

a2-b2

8c2(a2+c2-2c2)

代入abc的值得：cosθ=

μ1+μ2

2 2μ1+μ2

答：最大倾斜线AB的夹角θ的余弦值为：cosθ=

μ1+μ2

2 2μ1+μ2

．

点评：本题考查了平衡条件及力合成的法则：矢量三角形定则，关键是能够熟练运用数学知识求解，计算量比较大．