Question

4．木星的卫星之一叫艾奥，它上面的珞珈火山喷出的岩块初速度为18m/s时，上升高度可达90m．已知艾奥的半径为R=1800km，引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²，忽略艾奥的自转及岩块运动过程中受到稀薄气体的阻力，求：
（1）艾奥表面的重力加速度大小；
（2）艾奥的质量；
（3）艾奥的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根据竖直上抛运动规律可求得表面的重力加速度；
（2）忽略地球时，万有引力充当重力，则可求得星球的质量；
（3）根据万有引力充当向心力，当卫星绕星球表面运行时的速度为第一宇宙速度，代入数据即可求解．

解答 解：（1）岩块做竖直上抛运动有：$v_t^2-v_0^2=-2gh$
解得：
$g=\frac{{v}_{0}^{2}}{2h}=\frac{1{8}^{2}}{2×90}=1.8m/{s}^{2}$
（2）忽略艾奥的自转则有：$\frac{GMm}{R^2}=mg$
解得：$M=\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{1.8×（1800×1{0}^{3}）^{2}}{6.67×1{0}^{-11}}=8.7×1{0}^{22}kg$；
（3）某卫星在艾奥表面绕其做圆周运动时$\frac{GMm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$
$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR}$
代入解得：v=1.8×10³m/s
答：（1）艾奥表面的重力加速度大小为1.8m/s²；
（2）艾奥的质量为8.7×10²²kg
（3）艾奥的第一宇宙速度为.8×10³m/s

点评 本题考查万有引力定律的应用，要注意明确星球表面的物体万有引力充当重力；而绕星球表面运行的卫星万有引力充当向心力．