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    13．如图所示，某种透明材料制成的直角三棱镜ABC，折射率n=$\sqrt{3}$，∠A=$\frac{π}{6}$，在与BC边相距为d的位置，放置一平行于BC边的竖直光屏，现有一细光束射到棱镜AB面上的P点，入射光线与AB面垂直线CP的夹角为i，PB的长度为d，试求：
    ①当i=$\frac{π}{3}$且光束从BC面出射时，光屏上的亮斑与P点间的竖直距离；
    ②当光束不从BC面出射时，i的正弦值应满足的条件．

    分析 ①根据折射定律求出光线在P点的折射角，由几何关系和折射定律结合求出光线在BC面上出射时的折射角，最后由几何关系求光屏上的亮斑与P点间的竖直距离．
    ②当光束恰好不从BC面出射时恰好发生全反射时，入射角等于临界角C，由sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角C，结合几何知识求解．

    解答 解：①光线在P点发生折射，则有  n=$\frac{sini}{sinr}$
    得 sinr=$\frac{sini}{n}$=$\frac{sin60°}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$
    可得折射角 r=30°．
    设光线在BC面上入射角和折射角分别为i′和r′．
    由几何知识得 i′=90°-r-30°=30°
    则 i′=r
    结合光路可逆原理得  r′=i=60°
    所以光屏上的亮斑与P点间的竖直距离 S=dsin30°+dtan60°=$\frac{1+2\sqrt{3}}{2}$d
    ②当光束恰好不从BC面出射时恰好发生全反射，入射角等于临界角C，由sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$得：
      C=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$
    所以当光束不从BC面出射时，i′≥C=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$
    由几何知识得：r=60°-i′≤60°-arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$
    由n=$\frac{sini}{sinr}$得：sini=nsinr≤$\sqrt{3}$sin（60°-arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
    所以 i≤arcsin[$\sqrt{3}$sin（60°-arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$）]
    答：①当i=$\frac{π}{3}$且光束从BC面出射时，光屏上的亮斑与P点间的竖直距离是$\frac{1+2\sqrt{3}}{2}$d；
    ②当光束不从BC面出射时，i的正弦值应满足的条件是i≤arcsin[$\sqrt{3}$sin（60°-arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$）]．

    点评 本题的解题关键是正确作出光路图，要知道当光从光密介质射入光疏介质时要考虑能否发生全反射，根据几何知识和折射定律求解入射角和折射角．

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