Question

12．某电视台“快乐向前冲”节目的场地设施如图所示，AB为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，水面上漂浮着一个半径为R，角速度为ω，铺有海绵垫的转盘，转盘的轴心离平台的水平距离为L，平台边缘与转盘平面的高度差为H．选手抓住悬挂器可以在电动机的带动下，从A点下方的平台边缘处沿水平方向做初速度为零，加速度为a的匀加速直线运动．选手必须作好判断，在合适的位置释放手，才能顺利落在转盘上．设人的质量为m（不计身高），人与转盘间的最大静摩擦力为μmg．
（1）假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会滑动，转盘的角速度ω应限制在什么范围？
（2）若选手从某处C点释放能恰好落到转盘的圆心上，求悬挂器从A点运动到C点所经历的时间．已知H=5m，L=8m，a=$\frac{2}{3}$m/s²，（g取10m/s²）．
（3）当选手从A点开始运动时，盘边缘上P点刚好在最右端，问电动机产生的加速度a取哪些值，人可以落在P点？已知H=5m，L=8m，R=1m，ω=3.14rad/s，π取3.14，g取10m/s²．

Answer 1

分析 （1）根据静摩擦力提供向心力，结合牛顿第二定律求出转盘角速度的范围．
（2）抓住平抛运动的水平位移和匀加速直线运动的位移等于L，结合位移公式和速度公式求出匀加速运动的时间．
（3）结合（2）的分析，根据落在P点时，可能在O点的右侧，有可能在O点的左侧，结合速度位移公式即可求出．

解答 解：（1）设人落在距圆心最远R处不至被甩下，最大静摩擦力提供向心力，则有：
μmg≥mω²•R
即转盘转动的角速度满足ω≤$\sqrt{\frac{μg}{R}}$
（2）沿水平加速段位移为x₁，时间为t₁；平抛运动的水平位移为x₂，时间为t₂．
则加速时有${x}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
v=at₁
平抛运动阶段x₂=vt₂
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
全程水平方向：x₁+x₂=L；
代入数据，联立各式解得t₁=4s，t₂=1s．
（3）当P在最右侧时：t=$\frac{2nπ}{ω}=2n$，
$\frac{1}{2}a（t-{t}_{2}）^{2}+a（t-{t}_{2}）•{t}_{2}=L+R$
联立得：a=$\frac{18}{4{n}^{2}-1}$（n=1，2，3…）
当P在最左侧时，t=$\frac{（2n-1）π}{ω}=2n-1$
$\frac{1}{2}a{（t-{t}_{2}）}^{2}+a（t-{t}_{2}）•{t}_{2}=L-R$
联立得：a=$\frac{7}{2{n}^{2}-2n}$（n=2，3，4…）
答：（1）假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会滑动，转盘的角速度ω应；
（2）若选手从某处C点释放能恰好落到转盘的圆心上，悬挂器从A点运动到C点所经历的时间是4s．
（3）当选手从A点开始运动时，盘边缘上P点刚好在最右端，电动机产生的加速度a取$\frac{18}{4{n}^{2}-1}$（n=1，2，3…）或$\frac{7}{2{n}^{2}-2n}$（n=2，3，4…）时人可以落在P点．

点评 该题属于单物体多过程的情况，解决本题的关键理清选手的运动过程，结合牛顿第二定律和运动学公式灵活求解．