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    12．劲度系数为k的轻弹簧，竖直放置在地面上，其上端固定有质量为M的钢板，处于静止状态，如图所示，现有一质量为m的小球从距钢板H的高处自由下落并与之发生碰撞，碰撞中无机械能损失．已知M=3m，弹簧振子的周期T=2π$\sqrt{\frac{M}{k}}$．
    （1）求小球与钢板第一次碰撞后，小球的速度v1和钢板的速度v2．
    （2）要使小球与钢板每次都在同一高度相碰（即钢板的初始位置），求钢板质量的最大值．
    （3）以小球自由下落的瞬间为计时起点，以向下为正方向，画出小球的v-t图线（要求至少画出小球与钢板发生第三次碰撞前的图线，写出画图的依据）．

    分析 （1）小球碰前做自由落体运动，碰撞过程系统动量和机械能均守恒，根据守恒定律列式后联立求解即可；
    （2）要使小球与钢板每次都在同一高度相碰，则小球返回时间为钢板简谐运动半周期的奇数倍，根据等时性列式后联立求解；
    （3）根据动量守恒定律和机械能守恒定律联立求解出第二次碰撞后小球和钢板的速度，同理再求解第二次碰撞后小球和钢板的速度，…，最后做v-t图象

    解答 解：（1）设小球落至钢板时速度为v0，由机械能守恒定律得：mgH=$\frac{1}{2}$mv02…①
    碰撞过程中动量守恒，以向下为正方向，由动量守恒定律得：mv0=mv1+Mv2…②
    机械能无损失，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv12+$\frac{1}{2}$Mv22=$\frac{1}{2}$mv02…③
    联立①②③式得，v1=-$\frac{1}{2}$v0，负号表示方向向上，v2=$\frac{1}{2}$v0，方向竖直向下．
    （2）由（1）可知，碰撞后小球做竖直上抛运动，钢板以$\frac{1}{2}$v0（连同弹簧）向下做简谐运动，
    要使m与M第二次碰撞仍发生在原位置，则必有小球重新落回到O处所用的时间t恰好对应，
    t=nT+$\frac{1}{2}$T，而当M取最大值时，必有t=$\frac{1}{2}$T，
    即t=$\frac{{v}_{0}}{g}$=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=π$\sqrt{\frac{M}{k}}$，
    解得：M=$\frac{2kH}{g{π}^{2}}$．
    （3）小球与钢板的第二次碰撞动量守恒，以向下为正方向，由动量守恒定律得：
    m•$\frac{1}{2}$v0-M•$\frac{1}{2}$v0=mv3+Mv4，
    由机械能守恒定律得：
    $\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{2}$v0）2+$\frac{1}{2}$M（$\frac{1}{2}$v0）2=$\frac{1}{2}$mv32+$\frac{1}{2}$Mv42，
    解得：v3=-v0，方向竖直向上，v4=0，当小球再次落回与钢板发生第三次碰撞时，
    第三次碰撞是第一次碰撞的重复，此后过程将周而复始地进行，小球的v-t图线如图所示．
    答：（1）小球与钢板第一次碰撞后，小球的速度v1大小为$\frac{1}{2}$v0，方向：竖直向上，钢板的速度v2大小为$\frac{1}{2}$v0，方向：竖直向下．
    （2）钢板质量的最大值为：$\frac{2kH}{g{π}^{2}}$．
    （3）小球的v-t图线如图所示．

    点评 本题关键明确小球和钢板的运动规律，根据动量守恒定律和机械能守恒定律多次列式后联立求解，第二问找出临界情况是关键，第三问找出重复性是关键．

    练习册系列答案
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