Question

小明跟着爸爸荡秋千的情景如图所示．设摆绳长为3m，悬点在横梁上，小明连同底板质量共为60kg．开始时小明在爸爸的外力作用下使摆绳与竖直方向成37°角处于静止状态．某时刻爸爸放手让秋千由静止开始摆动，假设摆动过程中，小明与底板始终没有相对运动．当他运动到最低点时摆线拉力共为780N．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）小明爸爸施加的最小外力；
（2）取悬点处为零势能参考平面，放手前小明及底板的重力势能；
（3）通过计算说明秋千第一次摆到另一侧的最大偏角与37°的关系．

Answer 1

【答案】分析：（1）当小明爸爸施加的最小外力方向与摆绳垂直时，外力最小．根据平衡条件求解最小的外力．
（2）取悬点处为零势能参考平面，确定出放手前小明及底板到悬点的高度，由于放手前小明及底板在悬点的下方，其重力势能为负值．
（3）根据小明运动到最低点时摆线拉力共为780N，由牛顿第二定律小明经过最低点时的速度，分析在这个过程中有无空气阻力．若存在阻力，小明在向下摆动过程中机械能减少，秋千第一次摆到另一侧的最大偏角将小于37°．
解答：解：
（1）如图所示，当外力与摆绳垂直时最小．F_min=mgsin37°=360N
（2）E_p=-mglcos37°=-1440J
（3）设小明第一次向下摆动过程中，动能的变化量为△E_K，重力势能的变化量为△E_GP
小明在最低点时，由牛顿第二定律得：
   
解得υ=3m/s
经过最低点，小明与底板的动能为
小明与底板重力势能的减小量为△E_Gp=360J，则有△E_GP＞△E_K
说明小明在向下摆动过程中机械能减少，秋千第一次摆到另一侧的最大偏角小于37°．
答：
（1）小明爸爸施加的最小外力是360N；
（2）取悬点处为零势能参考平面，放手前小明及底板的重力势能是-1440J；
（3）秋千第一次摆到另一侧的最大偏角小于37°．
点评：本题第（1）问可以用作图法分析最小值的条件，也可以在理解的基础上加强记忆．重力势能要注意正负号，物体位置低于参考平面时，其重力势能为负值．