Question

如图所示，一个单匝闭合圆形线圈面积为S，电阻为R，放在空间分布均匀的磁场中，且线圈平面与磁场垂直，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律为B=B0sin

2π

T

t
（1）在0～T时间内，哪些时刻线圈中产生的感应电动势最大？
（2）在

T

4

～

3T

4

时间内，通过线圈横截面的电量是多大？
（3）在0～T时间内，线圈中所产生的热量是多大？

Answer 1

分析：（1）作出磁通量随着时间变化的图象，磁通量变化最快的时刻也就是感应电动势最大的时刻；
（2）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律、电流定义公式联立求解即可；
（3）正弦式交变电流，求解出感应电动势的最大值，然后求解有效值，最后根据焦耳定律求解电热．

解答：解：（1）线圈面积一定，B的周期性变化使穿过线圈的磁场量发生变化，Φ=B_mSsin?

2π

T

t．根据法拉第电磁感应律，ε=n

△Φ

△t

，可见电动势最大时也就是

△Φ

△t

最大．如何确定

△Φ

△t

最大的时刻呢？我们可将Φ=B_mSsin

2π

T

t的函数关系用Φ-t图来表示（如右图）．在该图上，曲线的斜率反映了

△Φ

△t

的大小．由图可见，当t等于0、

T

2

、T时，切线的斜率最大，因此，在这些时刻线圈产生的感应电动势最大．
（2）Φ的周期性变化使得ε、I也作周期性的变化，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律得：
ε=

△Φ

△t

，I=

ε

R

=

△Φ

R△t

．
而△Φ=I△t，所以△Q=

△Φ

R

．
即在△t时间内，通过导体横截面的电量只与磁通量的初末状态（△Φ=Φ₂-Φ₁）及导体
的电阻R有关，而与△t本身无关．
∴△Q=

△Φ

R

=

Φ2-Φ1

R

=

B0S-(-B0S)

R

=

2B0S

R

．
（3）感应电动势的最大值为：Em=?mω=B0S

2π

T

有效电动势为：E=

Em

2

=

B0S 2π T

2

=

2

B0S

π

T

电热为：Q=I2RT=(

E

R

)2RT=

2π2B02S2

RT

答：（1）在0～T时间内，当t等于0、

T

2

、T时，线圈中产生的感应电动势最大；
（2）在

T

4

～

3T

4

时间内，通过线圈横截面的电量是

2B0S

R

；
（3）在0～T时间内，线圈中所产生的热量是

2π2B02S2

RT

．

点评：本题关键是要能根据法拉第电磁感应定律求解出感应电动势的一般表达式，可以将磁通量的变化等同于矩形线圈绕垂直匀强磁场的转轴做匀速圆周运动的物理模型．