Question

1．如图所示，甲、乙两传送带倾斜放置，与水平方向夹角均为37°，传送带乙长为4m，传送带甲比乙长0.45m，两传送带均以3m/s的速度逆时针匀速运动，可视为质点的物块A从传送带甲的顶端由静止释放，可视为质点的物块B由传送带乙的顶端以3m/s的初速度沿传送带下滑，两物块质量相等，与传送带间的动摩擦因数均为0.5，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）物块A由传送带顶端滑到底端经历的时间；
（2）物块A、B在传送带上显示的划痕长度之比．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出A开始下滑的加速度，结合速度时间公式求出速度达到传送带速度的时间，根据速度位移公式求出速度达到传送带的位移，由于物块与传送带不能保持相对静止，速度相等后，物块继续做匀加速直线运动，结合牛顿第二定律求出速度相等后的加速度大小，根据位移时间公式求出速度相等后的时间，从而得出总时间．
（2）根据运动学公式分别求出物块A和传送带速度相等前和速度相等后的相对位移，从而得出划痕的长度．对于物块B，一直做匀加速直线运动，结合位移公式求出相对的位移大小，从而得出物块A、B在传送带上显示的划痕长度之比．

解答 解：（1）A开始向下做匀加速直线运动的加速度${a}_{1}=\frac{mgsin37°+μmgcos37°}{m}$=gsin37°+μgcos37°=6+0.5×8m/s²=10m/s²，
A速度达到传送带速度经历的时间${t}_{1}=\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{3}{10}s=0.3s$，
速度达到传送带速度的位移${x}_{1}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{9}{2×10}m=0.45m$，
由于物块重力沿斜面方向的分力大于最大静摩擦力，则物块与传送带不能保持相对静止，物块继续向下做匀加速直线运动，
加速度大小${a}_{2}=\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}$=gsin37°-μgcos37°=6-4m/s²=2m/s²，
根据${x}_{2}=v{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$得，代入数据解得t₂=1s，
则物块A由传送带顶端滑到底端经历的时间t=t₁+t₂=0.3+1s=1.3s．
（2）物块A在速度与传送带速度相等前，相对传送带向后滑，△x₁=vt₁-x₁=3×0.3-0.45m=0.45m，
速度相等后，物块A相对传送带向前滑，△x₂=x₂-vt₂=4-3×1m=1m，
综上可知，物块A在传送带上留下的划痕△x=△x₂=1m．
物块B沿传送带向下做加速度a=2m/s²的匀加速直线运动，根据$x=vt+\frac{1}{2}a{t}^{2}$得，代入数据解得t=1s，
物块相对传送带向下滑的位移△x′=x-vt=4-3×1=1m，
物块A、B在传送带上显示的划痕长度之比为1：1．
答：（1）物块A由传送带顶端滑到底端经历的时间为1.3s；
（2）物块A、B在传送带上显示的划痕长度之比为1：1．

点评 本题考查了传送带模型，关键理清物块在传送带上的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．