Question

【题目】如图所示，ab、ef是固定在绝缘水平桌面上的平行光滑金属导轨，导轨足够长，导轨间距为d．在导轨ab、ef间放置一个阻值为R的金属导体棒PQ．其质量为m，长度恰好为d．另一质量为3m、长为d的金属棒MN也恰好能和导轨良好接触，起初金属棒MN静止于PQ棒右侧某位置，盛个装置处于方向垂直桌面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中．现有一质量为m、带电荷量为q的光滑绝缘小球在桌而上从O点（O为导轨上的一点）以与可成60°角的方向斜向右方进人磁场，随后小球垂直地打在金属棒MN的中点，小球与金属棒MN的碰撞过程中无机械能损失，不计导轨间电场的影响，不计导轨和金属棒MN的电阻，两杆运动过程中不相碰，求：

（1）小球在O点射人磁场时的初速度v0

（2）金属棒PQ上产生的热量E和通过的电荷量Q

（3）在整个过程中金属棒MN比金属棒PQ多滑动的距离

（4）请通过计算说明小球不会与MN棒发生第二次碰撞；

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）（4）小球不会与MN杆发生第二次碰撞。

【解析】

光滑绝缘小球在水平桌面上做匀速圆周运动，由几何关系可求半径，牛顿第二定律求出小球在O点射人磁场时的初速度；小球与MN杆发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒求出碰后小球速度和MN杆速度，此后杆MN与杆PN组成的系统动量守恒，根据能量守恒定律求解PQ上产生的热量，对杆PQ应用动量定理求得金属棒PQ通过的电荷量；根据电荷量公式求解在整个过程中金属棒MN比金属棒PQ多滑动的距离；球与MN碰后，球碰后做圆周运动，这段时间内杆MN减速运动，与PQ同速后做运匀速动，由此判断小球不会与MN杆发生第二次碰撞；

（1）如图所示，可得：光滑绝缘小球在水平桌面上做匀速圆周运动的半径设为r，

由图可知：

得：

由牛顿第二定律可得：

得：

（2）由题可知小球与MN杆发生弹性碰撞，设碰后小球速度为，MN杆速度为，可得：

联立可得：

此后杆MN与杆PN组成的系统动量守恒，共速度时速度设为，则有：

可得：

由能量守恒定律可知PQ上产生的热量：

对杆PQ应用动量定理可得：

即：

得：

（3）由

得杆MN比杆PQ多滑动的距离：

（4）由（2）可知球与MN碰后，小球的速度为：， 杆MN的速度为：

小球碰后做圆周运动的半径：

运动半个周期的时间为：

这段时间内杆MN减速到与PQ同速，最小速度为，则其位移：

此后杆MN一直向左运动，故小球不会与MN杆发生第二次碰撞。