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(2006?广东模拟)如图所示,边长为a的等边三角形bcd所围区域内磁感应强度为B,方向垂直纸面向内的匀强磁场,某时刻静止在b点的原子核X发生α衰变,α粒子沿bc方向射入磁场,经磁场偏转后恰好在d点沿cd方向射出.已知α粒子质量为m,电量为2e,剩余核的质量为M,衰变过程的核能全部转化为动能,求原子核X的质量MX
分析:由题意,原子核X发生了衰变,要求原子核X的质量MX,应根据爱因斯坦质能方程求衰变所释放的核能.而衰变过程的核能全部转化为动能,则必须求出α粒子和剩余核的动能.先画出α粒子的运动轨迹,由几何知识求出轨迹半径,即可由牛顿第二定律求出其速率,根据衰变过程动量守恒求得剩余核的速率,就可以求得衰变后总动能,即得到核能,再由爱因斯坦质能方程求MX
解答:解:由题意画出α粒子在磁场中的运动轨迹如图所示,由几何关系,由由几何知识得:α粒子的运动半径为:
  R=atanθ=
3
3
a          
在磁场中,对α粒子:
  2eBv=m
v2
r
       
∴v=
2eBr
m
=
2
3
3
?
eBa
m
       
衰变过程中动量守恒:
  mv-Mu=0                    
则得剩余核的速率 u=
2eBr
m
=
2
3
3
?
eBa
M
           
衰变过程中释放的能量:△E=
1
2
mv2+
1
2
Mu2=
2e2B2a2
3
?
m+M
Mm

由爱因斯坦质能方程:△m=
△E
c2
=
2e2B2a2
3c2
?
m+M
Mm
            
原子核X的质量为:MX=m+M+△m=(m+M)(1+
2e2B2a2
3c2Mm
)      
答:原子核X的质量MX是(m+M)(1+
2e2B2a2
3c2Mm
).
点评:本题是带电粒子在磁场中的圆周运动与原子核衰变的综合,要抓住衰变过程遵守动量守恒和能量守恒进行分析.磁场中要画出轨迹,运用几何知识和牛顿第二定律进行研究.
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内外轨高度差h/mm 50 100 150 200 250 300
(1)根据表中数据,试导出h和r关系的表达式,并求出当r=440m时,h的设计值;
(2)铁路建成后,火车通过弯道时,为保证绝对安全,要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力,又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L=1435mm,结合表中数据,算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位,结果取整数;路轨倾角很小时,正弦值按正切值处理)
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