Question

16．如图所示，有A，B两个小球，在A球从距地面高度为h处自由下落的同时，将B球从地面以某一初速度竖直向上抛出，两球沿同一竖直线运动．重力加速度为g，忽略空气阻力，若B球在下落过程中与A球相遇，求B球初速度的取值范围．

Answer 1

分析 自由落体的位移大小与竖直上抛位移的大小之和等于总高度h，先根据位移公式求解相遇的时间，然后根据是下降阶段相遇确定初速度的范围．

解答 解：A球做自由落体运动，下落高度h₁，所用时间t₁
得：h₁=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{1}^{2}$  ①
B球做竖直上抛运动（全过程），上升高度h₂，时间t₂，t₂=t₁=t
得：h₂=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{2}^{2}$  ②
又因：h₁+h₂=h ③
由①②③解得：
t=$\frac{h}{{v}_{0}}$
考虑临界情况一，设B球上升到最大高度时，与球A相遇，B球上升到最大高度时间为$\frac{{v}_{0}}{g}$，故：
$\frac{h}{{v}_{0}}$=$\frac{{v}_{0}}{g}$
解得：v₀=$\sqrt{gh}$
考虑临界情况二，B球落地时间$\frac{2{v}_{0}}{g}$，如果相遇时间t=$\frac{h}{{v}_{0}}$等于B球落地时间，A球刚好在B球落地时追上B球．
即：$\frac{2{v}_{0}}{g}$=$\frac{h}{{v}_{0}}$
解得：v₀=$\sqrt{\frac{gh}{2}}$
故要满足在下落中相遇，需满足：
$\sqrt{\frac{gh}{2}}$＜v₀＜$\sqrt{gh}$
答：B球初速度的取值范围为$\sqrt{\frac{gh}{2}}$＜v₀＜$\sqrt{gh}$．

点评 本题是自由落体与竖直上抛相结合，要注意上抛的小球是出在上升阶段还是下降阶段，不难．