Question

【题目】如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO/重合，转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO/之间的夹角θ为45°。已知重力加速度大小为g，小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为不变。（结果可用根式表示）

（1）若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时的角速度ω0；

（2）若小物块一直相对陶罐静止，求陶罐旋转的角速度的范围。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：1）当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，有：mgtanθ＝mRsinθω02，

解得：

（2）当ω＞ω0时，重力和支持力的合力不够提供向心力，当角速度最大时，摩擦力方向沿罐壁切线向下达最大值，设此最大角速度为ω1，由牛顿第二定律得，fcosθ+FNsinθ＝mRsinθω12

fsinθ+mg=FNcosθ

联立以上三式解得：

当ω＜ω0时，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向上，当角速度最小时，摩擦力向上达到最大值，设此最小角速度为ω2

由牛顿第二定律得，FNsinθfcosθ＝mRsinθω22，

mg=FNcosθ+fsinθ，

联立解得：

故陶罐旋转的角速度的范围