Question

如图所示，四个竖直的分界面间的距离分别为L、L和d，在分界面M₁N₁-M₃N₃之间存在水平向里的匀强磁场，在分界面M₂N₂-M₄N₄之间存在水平向左的匀强电场，一倾角为30°的光滑斜面，其上、下端P₁和P₂正好在分界面上．一质量为m，带电荷量为q的小球在P₁点由静止开始沿斜面下滑（电荷量不变），重力加速度为g．
（1）求小球运动到斜面底端P₂时的速度v大小
（2）已知小球离开斜面底端P₂后，做直线运动到分界面M₃N₃上的P₃点，求空间电场强度E和磁感应强度B．的大小；
（3）已知d足够大，小球离开P₃点后将从P₄点再次经过M₃N₃面，求P₃和P₄两点间的距离h．

Answer 1

（1）小球在斜面上运动时受重力支持力和洛伦兹力作用，因为支持力和洛伦兹力都速度方向垂直不做功，固合外力做即为重力做功，根据运动定理有：
mgLtan30°=

1

2

mv2-0
解得：v=

2 3 gL 3

（2）小球从P₂到P₃点做直线运动，因为重力和电场力均为恒力，而F_洛=qvB只能是做匀速直线运动，所受合力为零，由平衡条件有：
qE=qBvsin30°             ①
mg=qBvcos30°             ②
联立①②解处：E=

3 mg

3q

，B=

m

q

2g 3 L

（3）由（2）分析知，从P₂到P₃点做直线运动，合力为零，因为洛伦兹力始终与速度方向垂直，所以重力和电场力的合力与速度方向垂直．
所以小球从P₃到P₄点做类平抛运动，在P₃点速度为v，沿P₂P₃方向做匀速运动，与此方向垂直的方向为匀加速运动，则：



小球做类平抛运动的加速度为a，则有：

mg

cos30°

=ma
得a=

2g

3

hsin30°=vt
hcos30°=

1

2

at2
代入数据得：h=4

3

L
答：（1）小球运动到斜面底端P₂时的速度v=

2 3 gL 3

（2）已知小球离开斜面底端P₂后，做直线运动到分界面M₃N₃上的P₃点，求空间电场强度E和磁感应强度B的大小为B=

m

q

2g 3 L

；
（3）已知d足够大，小球离开P₃点后将从P₄点再次经过M₃N₃面，P₃和P₄两点间的距离h=4

3

L．