Question

如图所示，相互平行的竖直分界面MN、PQ，相距L，将空间分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区．Ⅰ、Ⅲ区有水平方向的匀强磁场，Ⅰ区的磁感应强度未知，Ⅲ区的磁感应强度为B；Ⅱ区有竖直方向的匀强电场（图中未画出）．一个质量为m、电荷量为e的电子，自MN上的O点以初速度v₀水平射入Ⅱ区，此时Ⅱ区的电场方向竖直向下，以后每当电子刚从Ⅲ区进入Ⅱ区或从Ⅰ区进入Ⅱ区时，电场突然反向，场强大小不变，这个电子总是经过O点且水平进入Ⅱ区．（不计电子重力）
（1）画出电子运动的轨迹图；
（2）求电子经过界面PQ上两点间的距离；
（3）若Ⅱ区的电场强度大小恒为E，求Ⅰ区的磁感应强度．

Answer 1

分析：（1）电子进入区域Ⅱ后首先做类平抛运动，运动轨迹是一段抛物线；电子进入区域Ⅲ后在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，轨迹是一段圆弧；再次进入区域Ⅱ后，电子做斜上抛运动，运动轨迹是一段抛物线（和刚进入区域Ⅱ的抛物线是对称的）；电子垂直进入区域Ⅰ后，电子做匀速圆周运动，轨迹是一个半圆．
（2）电子在区域Ⅲ中做匀速圆周运动，首先求出运动半径，再由几何关系可求出两点间的距离．
（3）结合第一问和第二问求出电子经过边界MN上的两点间的距离，此为电子在区域Ⅰ中做圆周运动的直径，由洛伦兹力提供向心力公式可求出区域Ⅰ的磁场强度．

解答：解：
（1）电子运动的轨迹如图所示．
（2）电子在Ⅱ区Oa段做类平抛运动，
在a点的速度v₁与PQ成θ角，v₁sinθ=v₀…①
电子在Ⅲ区ab段做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有：
ev1B=

m v 2 1

R1

…②
由几何知识有：

.

ab

=2R1sinθ…③
①②③联立解得：

.

ab

=

2mv0

eB

…④
（3）电子在Ⅱ区Oa段运动的竖直位移：
y1=

1

2

at2=

eE

2m

?(

L

v0

)2=

eEL2

2m v 2 0

…⑤
电子在bc段做类斜上抛运动，加速度与Oa段等值反向，由运动的对称性得
电子运动的竖直位移：
y2=y1=

eEL2

2m v 2 0

…⑥
同样有对称可得电子在c处的速度为：
v_c=v₀，方向水平向左…⑦
所以，电子在Ⅰ区CO段做匀速圆周运动的半径为：
R′=

1

2

(y1+y2+

.

ab

)…⑧
由牛顿运动定律有：
ev0B=

m v 2 0

R′

…⑨
解得：
B′=

mv0

mv0 B + e2L2E 2Em v 2 0

（或

2m2 v 3 0 B

2m2 v 3 0 +e2L2BE

）
答：（1）电子运动的轨迹图如图所示．
（2）电子经过界面PQ上两点间的距离为

2mv0

eB

．
（3）若Ⅱ区的电场强度大小恒为E，Ⅰ区的磁感应强度为

mv0

mv0 B + e2L2E 2Em v 2 0

．

点评：该题考察了电子在电场中的偏转和在磁场中的匀速圆周运动，此题要求首先要分析电子在各个区域内的运动情况，画出电子的运动轨迹图，了解图中的几何关系．利用电子在电场中偏转时的速度的合成与分解，解决电子在电场中运动的相关问题；利用电子在匀速圆周运动的半径和周期公式，结合洛伦兹力提供向心力可解答电子在磁场中运动的相关问题．
电子从磁场边界以一定的角度射入只有一个边界的匀强磁场，当再次射出磁场时，速度与边界的夹角与原来的相等．解题时充分利用这个结论，对解题有非常大的帮助．