Question

13．如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一个质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°，物体以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动．求：
（1）当小球对圆锥体的压力恰好为零时，小球速度大小v₁为多少？
（2）当v₂=$\sqrt{\frac{3gL}{2}}$时，则线对物体的拉力大小为多少？

Answer 1

分析 （1）当小球对圆锥体的压力为零时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律和向心力结合求出小球速度大小v₁．
（2）根据小球的速度与临界速度比较，判断小球是否离开圆锥体，再结合合力提供向心力，运用牛顿第二定律求出细线对小球的拉力．

解答 解：（1）当小球对圆锥体的压力为零时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
 mgtan30°=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{Lsin30°}$
解得：v₁=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gL}{6}}$
（2）由于v₂=$\sqrt{\frac{3gL}{2}}$＞v₀，则此时小球已经离开圆锥面，设绳子与竖直方向夹角为α，则：
  mgtanα=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{Lsinα}$
解得：α=60°
绳子拉力大小为：T′=$\frac{mg}{cosα}$=2mg
答：
（1）当小球对圆锥体的压力恰好为零时，小球速度大小v₁为$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gL}{6}}$．
（2）当v₂=$\sqrt{\frac{3gL}{2}}$时，则线对物体的拉力大小为2mg．

点评 解决本题的关键知道小球圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，根据牛顿第二定律求出临界速度是解决本题的关键．