Question

如图AB和CD是两根特制的、完全相同的电阻丝，竖直地固定在地面上，上端用电阻不计的导线相接，两电阻丝间距为L，有一根质量为m、电阻不计的金属棒，跨在AC两点间处于x轴原点，与电阻丝接触良好且无摩擦，空间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，放开金属棒，它将加速下滑。求：

（1）若电阻丝的电阻值跟位移x的平方根成正比，即R＝（k为一常数），试用假设法证明棒开始下落后是做匀加速运动。

（2）在棒做匀加速直线运动时若L＝1 m，B=1 T，m＝ kg，k= Ωm，求①棒下落的加速度a；②棒下落1米位移过程中电阻上的电功W。

Answer 1

解：（1）棒从静止释放后受重力而加速下落，速度v增大，棒切割磁感线产生的电动势E=BLv增大，但连入电路中的电阻长度也增大，故电路中电阻增大，因而电路中的电流及安培力的变化不便简单判定；对棒下落中的任一时刻将有

mg－=ma即mg－=ma

①假设棒ab做匀速直线运动，则棒运动的加速度a=0，即mg=，式中B、L、v、m、k均为定值，故位移x必为定值；但由于是棒的向下匀速运动将使位移x=vt随时间而变化，故三者矛盾而说明不可能做匀速直线运动。

②假设棒做加速度增大的加速下落运动；由前知必有减小，故棒的加速度最终将增大为a=g，此时必有=0，由于B、L、x均不为0且k为常数，故有当棒的加速度a=g时棒的速度v=0；但由于棒运动中a、v同向，故棒的速度将来不断增大；二者矛盾而说明棒不可能做加速度增大的加速直线运动。

③假设棒做加速度减小的加速下落运动：必有增大，故棒的加速度最终将减小为a=0时棒以mg=得v=而匀速直线运动；但由于棒运动中x将不断增大而使棒速度变化；故二者矛盾而说明棒不可能做加速度减小的加速直线运动。

④由此可见：导体棒必做匀加速直线下落。

（2）①将数据代入mg－=ma得a=10－  （A）；

再因棒匀加速运动故有v=  （B），

将（B）式代入（A）有a=10－=10－，

解之得棒的加速度为a=1.855 m/s²。

②棒下落中电路中电阻相应增大，因而其消耗的电能应当从能量的转化与守恒定律得出：=mgx-E_R,v²=2ax即max=mgx-E_R，则E_R=mx(g－a)

故此过程中电阻上的电功为E_R=1×1×(10－1.855) J=8.145 J。