Question

如图甲所示，正方形线框abcd的质量为m、边长为乙，线框从垂直纸面向里的水平有界匀强磁场的上方h高度处由静止自由下落，下落过程中，线框始终在同一竖直平面内，磁场高度为H，cd边与磁场边界都沿水平方向，g取l0m/s²．
（1）证明：线框进入磁场的过程中，在任意时刻线框克服安培力做功的功率等于线框的电功率．
（2）若m=0.40kg，L=0.45m，h=0.80m，H=1.45m，且cd边刚进入磁场时线框恰好做匀速运动，求cd边刚穿出磁场时线框的加速度大小a₁．
（3）在第（2）问中，若线框刚进入磁场时对其施加一竖直方向外力F，使其能以a₂=10.0m/s²的加速度竖直向下做匀加速运动，请在图乙中作出线框abcd进入磁场的过程中外力F随时间t变化的图象．

Answer 1

分析：（1）导线框cd边在磁场中运动时，克服安培力做功的功率为：P_安=F_安v，导线框消耗的电功率为：P_电=I²R，将感应电流I与速度v的关系代入，即可证明．
（2）cd边刚进入磁场前自由下落，根据机械能守恒定律求出cd边刚进入磁场时线框的速度．
线框完全进入磁场中，其磁通量不变，没有感应电流产生，不受安培力，机械能守恒，根据机械能守恒求出cd边刚穿出磁场时线框的速度，求出线框此时所受的安培力，再根据牛顿第二定律求加速度．
（3）若线框刚进入磁场时对其施加一竖直方向外力F，此时线框受到重力、安培力和F的作用，根据牛顿第二定律和安培力表达式F=

B2L2v

R

，速度公式v=v₀+a₂t，得到F与t的关系式，再作出图象．

解答：解：（1）设导线框cd边刚进入磁场时的速度为v，则在cd边进入磁场过程时产生的感应电动势为：E=BLv，
根据闭合电路欧姆定律，导线框的感应电流为：I=

E

R

导线框受到的安培力为：F_安=BIL=

B2L2v

R

，
因cd刚进入磁场时导线框做匀速运动，所以有：F_安=mg，
以上各式联立，得：v=

mgR

B2L2

．
导线框cd边在磁场中运动时，克服安培力做功的功率为：P_安=F_安v=

B2L2v

R

?v=

B2L2v2

R

导线框消耗的电功率为：P_电=I²R=（

BLv

R

）²R=

B2L2v2

R

．
因此有：P_安=P_电
即线框进入磁场的过程中，在任意时刻线框克服安培力做功的功率等于线框的电功率．
（2）线框自由下落过程，有：
mgh=

1

2

mv2，v=

2gh

=

2×10×0.8

=4m/s
设cd边刚穿出磁场时线框速度为v′．
根据机械能守恒得：mg（H-L）=

1

2

mv′2-

1

2

mv2
得：v′=

v2+2g(H-L)

=

42+2×10×(1.45-0.45)

=6m/s
此时线框所受的安培力大小为：F=BIL=BL

BLv′

R

=

B2L2v′

R

根据牛顿第二定律得：F-mg=ma₁．
即：

B2L2v′

R

-mg=ma₁．
由上题有：v=

mgR

B2L2

=4m/s
得：

B2L2

R

=

1

4

mg
则得：

1

4

mgv′-mg=ma₁．
解得：a₁=0.5g=5m/s²．
（3）线框在F外力作用下加速进入过程中，经t时刻速度为v，则该时刻有：
F+mg-

B2L2v″

R

=ma₂．
又v″=v+a₂t
根据上述方程联立，可得F=4+10t（t≤0.1s），在图乙中作出线框abcd进入磁场的过程中外力F随时间t变化的图象如图所示．
答：（1）证明见上．
（2）cd边刚穿出磁场时线框的加速度大小a₁为5m/s²．
（3）作出线框abcd进入磁场的过程中外力F随时间t变化的图象如图．

点评：本题是电磁感应中的力学问题，分析和计算安培力是解题的关键，要根据线框的运动情况，分析其受力情况，运用牛顿第二定律和电磁感应的相关规律求解．