Question

如图，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标（-l，0），MN与y轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场（图中未画出）．现有一质量为m、电荷量为e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v₀射入电场，并从y轴上A点（0，0.5l）射出电场，射出时速度方向与y轴负方向成30°角，此后，电子做匀速直线运动，进入磁场并从圆形有界磁场边界上Q点(

3 l

6

，-l)射出，速度沿x轴负方向．不计电子重力，求：
（1）匀强电场的电场强度E的大小？
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小？电子在磁场中运动的时间t是多少？
（3）圆形有界匀强磁场区域的最小面积S是多大？

Answer 1

分析：（1）根据电场力提供合力使其做类平抛运动，由牛顿第二定律，结合运动学公式从而即可求解；
（2）由几何关系可确定OD的距离，再由运动的分解可列出速度间的关系式，最后由运动轨迹的半径与周期公式，借助于已知长度，来确定磁场强弱与运动的时间；
（3）以切点F、Q为直径的圆形有界匀强磁场区域的半径最小，从而根据几何的关系，并由面积公式即可求解．

解答：解：（1）设电子在电场中运动的加速度为a，时间为t，离开电场时，沿y轴方向的速度大小为v_y，则
由牛顿第二定律，a=

eE

m

y轴方向v_y=at
x轴的位移，l=v₀t
速度关系，v_y=v₀cot30°
解得：E=

3 m v 2 0

el

（2）设轨迹与x轴的交点为D，OD距离为x_D，则
x_D=0.5ltan30°
x_D=

3

6

l
所以，DQ平行于y轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在DQ上，电子运动轨迹如图所示．设电子离开电场时速度为v，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，则
v₀=vsin30° 
r=

mv

eB

=

2mv0

eB

             
r+

r

sin30°

=l（有r=

l

3

）   
t=

T

3

                    
T=

2πm

eB

（或T=

2πr

v

=

πl

3v0

）
解得：B=

6mv0

el

，t=

πl

9v0

（3）以切点F、Q为直径的圆形有界匀强磁场区域的半径最小，设为 r₁，则
r1=rcos30°=

3

2

r=

3

6

l
最小面积为，S=π

r

2 1

=

πl2

12

答：（1）匀强电场的电场强度E的大小为

3 m v 2 0

el

；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小为

6mv0

el

；电子在磁场中运动的时间t是

πl

9v0

；
（3）圆形有界匀强磁场区域的最小面积S是

πl2

12

．

点评：粒子做类平抛时，由牛顿第二定律与运动学公式相结合来综合运用；在做匀速圆周运动时，由半径公式与几何关系来巧妙应用，从而培养学生在电学与力学综合解题的能力．注意区别磁场的圆形与运动的轨迹的圆形的半径不同．