Question

如图所示直角坐标系xOy的第二象限中有一平行x轴放置的平行板电容器ab，其中b板置于x轴，两板间距d=2m，板间电压U_ab=2×10²V，板间有一方向垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度B₁=1T．第一象限中存在一方向垂直xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度B₂=0.5T．第四象限中有方向与x轴成θ=60°斜向左上方的匀强电场，电场强度E=100N/C．一个质量m=2.0×10^-12kg、带电荷量q=2.0×10^-10C的正离子（不计重力）从ab两板中央P点以某一水平速度υ射入平行板电容器ab，恰好沿水平方向做直线运动并垂直y轴进入第一象限的匀强磁场中．求：
（1）正离子速度υ的大小；
（2）正离子第一次经过x轴的位置；
（3）正离子从进入第一象限开始到第三次经过x轴的时间t．

Answer 1

分析：（1）恰好沿水平方向做直线运动说明粒子的洛伦兹力和电场力等大反向，根据平衡条件列方程求速度υ的大小；
（2）根据牛顿第二定律求出粒子在第一象限磁场中的半径，作出轨迹，由几何知识求正离子第一次经过x轴的位置；
（3）作出离子的运动轨迹，从进入第一象限开始到第三次经过x轴的时间t为各阶段运动的时间之和．

解答：解：（1）恰好沿水平方向做直线运动，根据平衡条件：qvB=qE
得：v=

E

B

又E=

Uab

d

得：v=

200

1×2

=100m/s
（2）离子进入磁场后，洛伦兹力提供向心力：qvB₂=m

v2

r

得：r=

mv

qB2

=

2.0×10-12×100

2.0×10-10×0.5

=2m
则粒子在磁场中匀速圆周运动的轨迹如图：

设粒子第一次在磁场中做圆周的圆心角为θ₁，则cosθ₁=

1

2

，θ₁=60°
由几何知识知第一次经过x轴的位置为

3

m，坐标：（

3

m，0）；
（3）则粒子进入电场时的速度方向与电场力方向平行，粒子先做匀减速直线运动后反向加速度回到x轴，然后接着做匀速圆周运动，
在电场中运动的时间为：t₂=2?

v

a

又a=

qE

m

=

2×10-10×100

2×10-12

=10⁴m/s²
得：t₂=

2v

a

=

2×100

10-4

=0.02s
粒子在磁场中做圆周运动的周期为：T=

2πm

qB2

=

2π×2.0×10-12

2.0×10-10×0.5

=0.04πs
则做圆周的时间为：t₁+t₃=

1

6

T+

2

3

T=

5

6

T=

5

6

×0.04π≈0.1s
则正离子从进入第一象限开始到第三次经过x轴的时间为：t=t₁+t₂+t₃=0.02+0.1=0.12s
答：（1）正离子速度υ的大小为100m/s；
（2）正离子第一次经过x轴的位置：（

3

m，0）；
（3）正离子从进入第一象限开始到第三次经过x轴的时间t为0.12s．

点评：本题的解题关键是准确画出粒子运动的基础上，根据几何知识得到粒子进入电场时的速度方向，由运动学公式和在磁场中运动的周期公式求各阶段的运动时间．