Question

6．在如图所示的坐标系中，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向．在第一、第二象限内，既无电场也无磁场，在第三象限，存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直xoy平面（纸面）向里的匀强磁场，在第四象限，存在与第三象限相同的匀强电场，还有一个等腰直角三角形区域OMN，在该区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，∠OMN为直角，MN边有挡板，已知挡板MN的长度为2$\sqrt{2}$L．一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上y=L处的P₁点以一定的水平初速进入第二象限．然后经过x轴上x=-2L处的P₂点进入第三象限，带电粒子恰好能做匀速圆周运动，之后经过y轴上y=-2L处的P₃点进入第四象限．并最终打在挡板MN上，已知重力加速度为g．求：
（1）粒子到达P₂点时速度v的大小和方向；
（2）第三象限空间中磁感应强度B₁的大小；
（3）OMN区域内磁感应强度B₂的大小范围．

Answer 1

分析 （1）粒子从P₁到P₂做平抛运动，根据平抛运动的分位移和分速度公式列方程联立求解即可；
（2）小球做匀速圆周运动，电场力和重力平衡，洛伦兹力提供向心力，根据平衡条件和牛顿第二定律并结合几何关系列式求解B₁即可；
（3）粒子进入OMN区域内，速度垂直于MN，轨迹半径最大时轨迹与ON相切，轨迹半径最小时轨迹与M相切，由几何关系求出最大和最小半径，从而求得B₂的大小范围．

解答 解：（1）粒子从P₁到P₂做平抛运动，设粒子初速度为v₀，到达P₂点时速度大小为v，方向与x轴负方向成θ，运动时间为t，y轴方向的分速度大小为v_y．则有：
L=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，2L=v₀t，v_y=gt，v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
解得：v=2$\sqrt{gL}$，方向与x轴负方向成45°角．
（2）粒子从P₂到P₃做匀速圆周运动，所以重力与电场力平衡．P₂P₃垂直速度方向，粒子做匀速圆周运动的圆心在P₂P₃上，即P₂P₃是直径，设第三象限磁场磁感应强度大小为B₁，圆周运动半径为R，则有：
qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
又由几何知识有：（2R）²=（2L）²+（2L）²；
解得：B₁=$\frac{m\sqrt{2gL}}{qL}$
（3）粒子进入等腰直角三角形区域时，速度垂直于OM，且从OM中点进入，要使粒子直接打到MN板上，如图所示，当粒子进入磁场后做匀速圆周运动，偏转半径最大时恰好与ON相切，偏转半径最小时，OM的一半是圆周的直径，设最大半径为R₁，最小半径为R₂．
则有：R₁=（R₁+$\sqrt{2}$L）sin45°
解得：R₁=（2+$\sqrt{2}$）L，R₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L
由于粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
所以解得：B_2min=$\frac{（2-\sqrt{2}）m\sqrt{gL}}{qL}$，B_2max=$\frac{2m\sqrt{2gL}}{qL}$
所以B₂的大小范围为：$\frac{（2-\sqrt{2}）m\sqrt{gL}}{qL}$＜B₂＜$\frac{2m\sqrt{2gL}}{qL}$．
答：（1）粒子到达P₂点时速度v的大小为2$\sqrt{gL}$，方向与x轴负方向成45°角；
（2）第三象限空间中磁感应强度B₁的大小是$\frac{m\sqrt{2gL}}{qL}$；
（3）OMN区域内磁感应强度B₂的大小范围为$\frac{（2-\sqrt{2}）m\sqrt{gL}}{qL}$＜B₂＜$\frac{2m\sqrt{2gL}}{qL}$．

点评 本题要分析清楚小球的运动规律，然后分别对各个过程运用平抛运动的分位移和分速度公式、平衡条件、牛顿第二定律等规律列式求解，关键要画出轨迹，把握圆周运动的临界条件．