Question

“洞穴”考察正日益成为野外科考的热点项目，已知某科考队在一较深垂直洞穴的底部测得重力加速度为地表重力加速度的k倍，假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．则洞穴的深度为（　　）

• A．（1-k） R
• B．（k-1）R
• C．（1-

  k

  ） R
• D．(1-

  1

  k

  )R

Answer 1

分析：深度为d的洞穴底部的引力，由半径为R-d的球形部分产生，根据万有引力等于重力得出重力加速度的表达式，从而求出深度的大小．

解答：解：深度为d的洞穴底部的引力，由半径为R-d的球形部分产生．设地球的密度为ρ，在井底，g′=

G?ρ 4 3 π(R-d)3

(R-d)2

在地球表面，g=

G?ρ 4 3 πR3

R2

则

g′

g

=

R-d

R

=k
则洞穴的深度d=（1-k）R．故A正确，B、C、D错误
故选A．

点评：解决本题的关键知道质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则深度为d的洞穴底部的引力，由半径为R-d的球形部分产生．