Question

（2013?淮安模拟）如图所示，倾角为37°的粗糙斜面AB底端与半径R=0.4m的光滑半圆轨道BC平滑相连，O为轨道圆心，BC为圆轨道直径且处于竖直方向，A、C两点等高．质量m=1kg的滑块从A点由静止开始下滑，恰能滑到与O等高的D点，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求滑块与斜面间的动摩擦因数μ．
（2）若使滑块能到达C点，求滑块从A点沿斜面滑下时的初速度v₀的最小值．
（3）若滑块离开C处的速度大小为4m/s，求滑块从C点飞出至落到斜面上的时间t．

Answer 1

分析：（1）由题，滑块恰能滑到与O等高的D点，速度为零，对A到D过程，运用动能定理列式可求出动摩擦因数μ．
（2）滑块恰好能到达C点时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律列式可得到C点的速度范围，再对A到C过程，运用动能定理求初速度v₀的最小值．
（3）离开C点做平抛运动，由平抛运动的规律和几何知识结合求时间．

解答：解：（1）滑块由A到D过程，根据动能定理，有：
   mg（2R-R）-μmgcos37°?

2R

sin37°

=0-0
得 μ=

1

2

tan37°=0.375
（2）若滑块能到达C点，根据牛顿第二定律　有 mg+FN=

m v 2 c

R

则得  vc≥

Rg

=2m/s
A到C的过程：根据动能定理　有-μmgcos37°?

2R

sin37°

=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 0

联立解得，v₀=

v 2 C +2gR

≥2

3

m/s
所以初速度v₀的最小值为2

3

m/s．
（3）滑块离开C点做平抛运动，则有
   x=v_ct
   y=

1

2

gt2
由几何关系得：tan37°=

2R-y

x

联立得  5t²+3t-0.8=0
解得　t=0.2s
答：
（1）滑块与斜面间的动摩擦因数μ为0.375．
（2）若使滑块能到达C点，滑块从A点沿斜面滑下时的初速度v₀的最小值为2

3

m/s．
（3）若滑块离开C处的速度大小为4m/s，滑块从C点飞出至落到斜面上的时间t是0.2s．

点评：本题是动能定理与向心力、平抛运动及几何知识的综合，要注意挖掘隐含的临界条件，运用几何知识求解．