Question

【题目】如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g。

(1)若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；

(2)若ω＝(1±k)ω0，且0＜k1，求小物块受到的摩擦力大小和方向。

Answer 1

【答案】(1) (2) 当ω＝(1＋k)ω0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向下， ； 当ω＝(1－k)ω0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向上，

【解析】试题分析：(1) 若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小；

(2) 当ω＞ω0，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小．当ω＜ω0，重力和支持力的合力大于向心力，则摩擦力的方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小。

(1) 对小物块受力分析可知：

FN cos 60°＝mg

FN sin 60°＝mR′ω02

R′＝Rsin 60°

由以上各式解得：

；

(2) 由于0＜k1，

当ω＝(1＋k)ω0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向下

由受力分析可知：

FN′cos 60°＝mg＋Ffcos 30°

FN′sin 60°＋Ffsin 30°＝mR′ω2

解得：

当ω＝(1－k)ω0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向上．

由受力分析和几何关系知：

FN″cos 60°＋Ff′sin 60°＝mg

FN″sin 60°－Ff′cos 60°＝mR′ω2

解得：。

点晴：解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解。