Question

真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场．在电场中，若将一个质量为m、带正电的小球由静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为37°（取sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）．现将该小球从电场中某点以初速度v₀竖直向上抛出．求运动过程中：
（1）小球受到的电场力的大小和方向；
（2）小球到达最高点时的动能；
（3）小球从抛出点到与抛出点同一水平高度处电势能的变化量；
（4）小球最小速度的大小和方向．

Answer 1

分析：（1）小球静止释放时，由于所受电场力与重力均为恒力，故其运动方向和合外力方向一致，根据这点可以求出电场力大小和方向；
（2）小球抛出后，水平方向做匀加速直线运动，竖直方向上做竖直上抛运动，根据运动的等时性，可求出水平方向的位移，利用电场力做功即可求出电势能的变化量，或者求出高点时小球水平方向速速，然后利用动能定理求解；
（3）利用运动的合成求出运动过程中合速度的表达式，然后利用数学求极值的办法即可求出最小速度．

解答：解：（1）根据题设条件可知，合外力和竖直方向夹角为37°，所以电场力大小为：
     F_e=mgtan37°=

3

4

mg，电场力的方向水平向右．
故电场力为

3

4

，方向水平向右．
（2）小球沿竖直方向做匀减速运动，有：v_y=v₀-gt
沿水平方向做初速度为0的匀加速运动，加速度为a：ax=

F

m

=

3

4

g
小球上升到最高点的时间t=

v0

g

，此过程小球沿电场方向位移：sx=

1

2

axt2=

3 v 2 0

8g

电场力做功 W=F_xs_x=

9

32

mv₀²
故小球上升到最高点时，竖直方向的分速度是0，它的动能就等于电场力做功，即：EK=

9

32

m

v

2 0

（3）小球从抛出点到与抛出点同一水平高度处小球经历的时间：T=2t=

2v0

g

水平方向的位移：x′=

1

2

axT2=

3 v 2 0

2g

电场力做功W′=Fxx′=

9m v 2 0

8

故小球从抛出点到与抛出点同一水平高度处电势能的变化量△EP=

9m v 2 0

8

；
（4）水平速度：v_x=a_xt
  竖直速度：v_y=v₀-gt
小球的速度：v=

v 2 x + v 2 y

 
由以上各式得出：

25

16

g²t²-2v₀gt+（v₀²-v²）=0
解得当t=

16v0

25g

时，v有最小值 vmin=

3

5

v0
此时：v_x=

12

25

v₀，v_y=

9

25

v₀，tanθ=

vy

vx

=

3

4

，即与电场方向夹角为37°斜向上
答：（1）小球受到的电场力的大小为

3

4

mg和方向沿水平方向；
（2）小球到达最高点时的动能

9

32

m

v

2 0

；
（3）小球从抛出点到与抛出点同一水平高度处电势能的变化量

9

8

m

v

2 0

；
（4）小球最小速度是vmin=

3

5

v0和方向即与电场方向夹角为37°斜向上．

点评：本题在复合场中考察了运动的合成、分运动之间的关系等，有一定的综合性．解这类问题的关键是：正确进行受力分析，弄清运动形式，利用相应物理规律求解．