Question

1．如图（a）为一研究电磁感应的实验装置示意图，其中电流传感器（电阻不计）能将各时刻的电流数据实时通过数据采集器传输给计算机，经计算机处理后在屏幕上同步显示出I-t图象．平行且足够长的光滑金属轨道的电阻忽略不计，左侧倾斜导轨平面与水平方向夹角θ=30°，与右侧水平导轨平滑连接，轨道上端连接一阻值R=0.5Ω的定值电阻，金属杆MN的电阻r=0.5Ω，质量m=0.2kg，杆长L=1m跨接在两导轨上．左侧倾斜导轨区域加一垂直轨道平面向下的匀强磁场，右侧水平导轨区域也加一垂直轨道平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小都为B=1.0T，闭合开关S，让金属杆MN从图示位置由静止开始释放，其始终与轨道垂直且接触良好，此后计算机屏幕上显示出金属杆在倾斜导轨上滑行过程中的I-t图象，如图（b）所示． （ g取10m/s2）
（1）求金属杆MN在倾斜导轨上滑行的最大速率；
（2）根据计算机显示出的I-t图象可知，当t=2s时，I=0.8A，0-2s内通过电阻R的电荷量为1.0C，求0-2s内在电阻R上产生的焦耳热；
（3）金属杆MN在水平导轨上滑行的最大距离．

Answer 1

分析 （1）金属杆达到最大速度时做匀速直线运动，应用平衡条件可以求出最大速度．
（2）求出感应电动势，然后由欧姆定律求出电流，再求出电荷量，然后应用能量守恒定律与串联电路特点求出电阻产生的焦耳热．
（3）依据牛顿第二定律列出方程，两边求和，再结合电量的综合表达式，即可求解．

解答 解：（1）由I-t图象可知，当金属杆达到最大速率时已经匀速下滑，
由平衡条件得：mgsinθ=BIL，
感应电动势：E=BLv_m=I（R+r），
代入数据解得：v_m=1m/s；
（2）2s末的电流I=0.8A时，依据闭合电路欧姆定律，有：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BLv}{R+r}$
则有：v=$\frac{I（R+r）}{BL}$，
代入数据解得：v=0.8m/s
而0～2s内通过电阻R的电荷量为q=1C，
依据q=$\frac{E}{R+r}△t$=$\frac{△∅}{△t}•\frac{△t}{R+r}$=$\frac{△∅}{r+R}$=$\frac{BLx}{R+r}$，
则有：x=$\frac{q（R+r）}{BL}$，
代入数据解得：x=1m；
根据能量守恒定律，则有：mgxsinθ=$\frac{1}{2}$mv²+Q
则有：Q=mgxsinθ-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入数据解得：Q=0.936J
那么Q_R=$\frac{R}{R+r}Q$，
代入数据解得：Q_R=0.468J
（3）根据牛顿第二定律，则有：BIL=m$\frac{△v}{△t}$
那么BL（I△t）=m△v，
两边求和，即BL∑（I△t）=m∑△v，
解得：BLq=mv_m-0
因此q=$\frac{m{v}_{m}}{BL}$，
代入数据解得：q=0.2C
又因q=$\frac{E}{R+r}△t$=$\frac{△∅}{△t}•\frac{△t}{R+r}$=$\frac{△∅}{r+R}$=$\frac{BLx}{R+r}$，
解得：x_m=$\frac{q（R+r）}{BL}$=0.2m
答：（1）金属杆MN在倾斜导轨上滑行的最大速率1m/s；
（2）0-2s内在电阻R上产生的焦耳热0.468J；
（3）金属杆MN在水平导轨上滑行的最大距离0.2m．

点评 本题是一道电磁感应与电路、力学相结合的综合题，分析清楚金属杆的运动，应用平衡条件、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、能量守恒定律等可以解题，注意掌握微分求和的方法．