Question

光滑的水平面上固定有左、右两竖直挡板，挡板间距离足够长，有一质量为M，长为L的长木板靠在左侧挡板处，另有一质量为m的小物块（可视为质点），放置在长木板的左端，已知小物块与长木板间的动摩擦因数为μ，且M＞m，现使小物块和长木板以共同速度v₀向右运动，设长木板与左一右挡板的碰撞中无机械能损失．重力加速度为g．
（1）将要发生第二次碰撞时，小物块与木板的共同速度多大？
（2）为使小物块最终不从长木板上落下，板长L应满足什么条件？
（3）若满足（2）中条件，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，μ=0.6．计算整个系统在刚要发生第四次碰撞前损失的机械能和此时物块距离木板最左端的长度．

Answer 1

分析：（1）选取正方向，运用动量定理来确定共同运动的速度；
（2）以木板为参考系，选取物块为研究对象，利用动能定理结合发生的位移，可确定物块最终不从长木板上落下，板的长度；
（3）分别运用动量定理与动能定理列出每次碰撞时两定理的式子，从而求出第四次碰撞前损失的机械能．以木板为参考系，列出四次的相对位移表达式．再根据位移方向，从而确定物块距离木板最左端的长度．

解答：解：（1）选M运动方向为正方向
Mv₀-mv₀=（M+m）v₁
v1=

M-m

m+M

v0
（2）由运动过程分析可知，木板第一次撞墙后，小物块相对木板向左滑行的距离最大，若此时的相对位移为s₁，则
μmgs1=

1

2

(M+m)

v

2 0

-

1

2

(m+M)

v

2 1

L≥s₁时，即L≥

2M

(M+m)μg

v

2 0

（3）二次撞前：Mv₀-mv₀=（m+M）v₁
三次撞前：Mv₁-mv₁=（M+m）v₂
四次撞前：Mv₂-mv₂=（M+m）v₃
△E=

1

2

(m+M)

v

2 0

-

1

2

(m+M)

v

2 3

≈149.79J
二次撞前：相对于小车向左运动s1=

2M

(M+m)μg

v

2 0

三次撞前：相对于小车向右运动s2=

2M

(M+m)μg

v

2 1

四次撞前：相对于小车向左运动s3=

2M

(M+m)μg

v

2 2

由于物块相对于小车往复运动，故四次撞前距离小车最左端长度
d=s₁-s₂+s₃
代入数据得d≈20m
答：（1）将要发生第二次碰撞时，小物块与木板的共同速度

M-m

M+m

v0；
（2）为使小物块最终不从长木板上落下，板长L应满足即L≥

2M

(M+m)μg

v

2 0

；
（3）若满足（2）中条件，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，μ=0.6．计算整个系统在刚要发生第四次碰撞前损失的机械能149.79J；此时物块距离木板最左端的长度约为20m．

点评：本题考查动量定理与动能定理，并多次在不同过程中使用，让同学们更能熟练的掌握规律．同时此处巧取木板作为参考系，注意位移与速度均要相对木板的值．