Question

5．如图所示是某公园中的一项游乐设施，半径为R=2.5m、r=1.5m的两圆形轨道甲和乙安装在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道CD相连，现让可视为质点的质量为10kg的无动力小滑车从A点由静止释放，刚好可以滑过甲轨道后经过CD段又滑上乙轨道后离开两圆形轨道，然后从水平轨道飞入水池内，水面离水平轨道的高度h=5m，所有轨道均光滑，g=10m/s²．
（1）求小球到甲轨道最高点时的速度v．
（2）求小球到乙轨道最高点时对乙轨道的压力．
（3）若在水池中MN范围放上安全气垫（气垫厚度不计），水面上的B点在水平轨道边缘正下方，且BM=10m，BN=15m；要使小滑车能通过圆形轨道并安全到达气垫上，则小滑车起始点A距水平轨道的高度该如何设计？

Answer 1

分析 （1）小车在C轨道最高点对轨道恰好无压力，根据重力恰好等于向心力列式求解；
（2）对从C轨道最高点到D轨道最高点过程运用动能定理列式求解D轨道最高点速度，再根据在D轨道最高点时重力和弹力的合力提供向心力列式求解弹力大小；
（3）根据平抛运动的分位移公式列式求出平抛运动的初速度，再对从开始到平抛起点的过程运用动能定理列式求解．

解答 解：（1）在甲轨道最高点P有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入解得：v=5m/s
即小车通过C轨道最高点的速度为5m/s；
（2）从甲轨道最高点P到乙轨道最高点Q，由动能定理得：
mg（2R-2r）=$\frac{1}{2}m{{v}_{Q}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}$
在D轨道最高点：
mg+F=m$\frac{{{v}_{Q}}^{2}}{r}$
代入解得：N=333.3N
由牛顿第三定律知，小车对轨道的压力为333.3N；
（3）设刚好过P点，下落高度为h₁，
从A到P，由动能定理得：
mg（h₁-2R）=$\frac{1}{2}$mv_P²
解得 h₁=6.25m，所以h≥6.25m…①
又：设物体到水平台右端E点速度为 v_E，从E平抛刚好到M点：
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=5m
x₁=v_E1t=10m
解得 v_E1=10m/s
从E平抛刚好到N点：x₂=v_E2t=15m
解得：v_E2=15m/s
要使物体落在MN范围，10m/s≤v_E≤15m/s．
从A到E，由动能定理得
mgh=$\frac{1}{2}m{{v}_{E}}^{2}$-0
则5m≤h≤11.25m…②
由①②得：6.25m≤h≤11.25m
答：（1）小球到甲轨道最高点时的速度v是5m/s．
（2）小球到乙轨道最高点时对乙轨道的压力是333.3N．
（3）小滑车起始点A距水平轨道的高度范围为6.25m≤h≤11.25m．

点评 本题关键要分析清楚小球的运动情况，然后根据向心力公式、牛顿第二定律、平抛运动分位移公式、动能定理列式求解；切入点在于小球恰好通过最高点，由重力充当向心力．