Question

5．如图所示，在竖直平面内除了圆形区域外空间存在着范围足够大的垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，O点是圆形区域的圆心，A点是圆形区域上一点，在圆形区域内水平直径CD以下有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B′=$\sqrt{3}$B，OA与水平直径CD夹角为60°，圆形区域的半径为a，一个质量为m，电荷量为q的带正电的粒子从磁场中的某点P以水平方向速度垂直进入磁场，恰好沿AO方向进入圆形磁场区域，已知P点与圆心O的水平距离为2a，不计粒子的重力，求
（1）粒子从P点射入时的速度大小？
（2）粒子在圆形区域磁场中的运动的时间是多少？
（3）若撤去圆形磁场区域内的磁场，圆形区域外部磁场不变，则粒子从第一次经过A点到第二次经过A点运动的路程和时间分别是多少？

Answer 1

分析 （1）由初末速度的方向确定在圆外磁场做匀速圆周运动的圆心，从而由几何关系求出轨道半径与圆形区域半径的关系，再由半径公式求出从P点射入的速度．
（2）沿AO方向从O点射入圆内磁场，先由牛顿第二定律求出在圆内磁场做匀速圆周运动的半径，结合圆心与AO垂直，从而确定圆心的位置，从而求出在圆内磁场今世偏转的角度，从而求出了在圆内磁场中的时间．
（3）若撤去圆形区域内的磁场，则从Q点入射进入圆形区域在圆形区域沿直径做匀速直线运动，离开圆形区域进入圆外磁场再做匀速圆周运动，半径大小与出射方向找到第一次离开圆形区域的半径，画出轨迹，再由几何关系找到转过的角度．确定再次入射圆形区域的位置，余次类推，可以画出第二次经过A点时的总的轨迹，从而能求出总的路程和时间．

解答 解：（1）设粒子在磁场B中运动的轨道半径为R₁，由几何关系可知
     R₁sin60°+acos60°=2a
    解得${R}_{1}=\sqrt{3}a$
    由洛伦兹力提供向心力得$qvB=\frac{m{v}^{2}}{{R}_{1}}$
    解得$v=\frac{\sqrt{3}qBa}{m}$

（2）设粒子在圆形区域内磁场中运动的轨道半径为R₂，
    由洛伦兹力提供向心力得：$qvB′=\frac{m{v}^{2}}{{R}_{2}}$
    解得R₂=a，
    因为R₂=a，粒子在圆形磁场区域运动的轨迹圆心一定位于圆形区域的圆周上，且所对应的圆心角
   为60⁰，粒子在圆形区域的磁场中运动的时间为${t}_{1}=\frac{T}{6}=\frac{2πa}{6v}=\frac{\sqrt{3}πm}{9qB}$．

（3）粒子第一次经过A点后经过如图所示的轨迹再次经过A点，由图可
   知$tanα=\frac{a}{{R}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，α=30°
   粒子在磁场中做圆周运动的圆心角为300⁰，粒子再次经过A点在磁场中运动
   路程${s}_{1}=3×\frac{300}{360}×2π{R}_{1}=5\sqrt{3}πa$
   在圆形区域运动的总路程是$5（\sqrt{3}π+8）a$
   运动时间：t₂=$\frac{s}{v}$$（5π+\frac{8}{\sqrt{3}}）\frac{m}{qB}$
答：（1）粒子从P点射入时的速度大小$\frac{\sqrt{3}qBa}{m}$．
（2）粒子在圆形区域磁场中的运动的时间是$\frac{\sqrt{3}πm}{9qB}$．
（3）若撤去圆形磁场区域内的磁场，圆形区域外部磁场不变，则粒子从第一次经过A点到第二次经过A点运动的路程$（5\sqrt{3}π+8）a$，时间为$（5π+\frac{8}{\sqrt{3}}）\frac{m}{qB}$．

点评 本题的靓点在于第三问，撤去圆形内部的磁场，在圆内做直线运动而在圆外做圆弧运动，由半径大小和洛仑兹力与速度方向垂直确定在圆外做匀速圆周运动的圆心，由几何关系找到转过的角度，画出再次经过A点的轨迹，从而求出总的路程和时间．