Question

19．如图所示的xOy坐标系中，y轴右侧空间存在范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于xOy平面向里．P点的坐标为（-2L，0），Q₁、Q₂两点的坐标分别为（0，L），（0，-L）．坐标为（-$\frac{1}{3}$L，0）处的C点固定一平行于y轴放置的长为$\frac{2}{3}$L的绝缘弹性挡板，C为挡板中点，带电粒子与弹性绝缘挡板碰撞前后，沿y方向分速度不变，沿x方向分速度反向，大小不变． 带负电的粒子质量为m，电量为q，不计粒子所受重力．若粒子在P点沿PQ₁方向进入磁场，经磁场运动后，求：
（1）从Q₁直接到达Q₂处的粒子初速度大小；
（2）从Q₁直接到达O点，粒子第一次经过x轴的交点坐标；
（3）只与挡板碰撞两次并能回到P点的粒子初速度大小．

Answer 1

分析 （1）作出粒子运动的轨迹图，结合几何关系求出粒子在磁场中运动的轨道半径，根据半径公式求出粒子的速度．
（2）作出粒子运动的轨迹图，根据几何关系求出粒子运动的半径，通过几何关系求出第一次经过x轴的交点坐标；
（3）抓住与挡板碰撞两次并能回到P点，作出轨迹图，结合几何关系，运用半径公式进行求解．

解答 解：（1）由题意画出粒子运动轨迹如图（甲）所示，设PQ₁与x轴正方向夹角为θ，粒子在磁场中做圆周运动的半径大小为R₁由几何关系得：R₁cosθ=L
其中：$cosθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
粒子磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{{v_1}^2}}{R_1}$，
解得：${v_1}=\frac{{\sqrt{5}qBL}}{2m}$．
（2）由题意画出粒子运动轨迹如图（乙）所示，设其与x轴交点为C，由几何关系得：R₂=$\frac{{\sqrt{5}}}{4}L$．
设C点横坐标为x_C，由几何有关系得：x_C=$\frac{1}{2}L$．
则C点坐标为：（$\frac{1}{2}L$，0）．
（3）由题意画出粒子运动轨迹如图（丙）所示，设PQ₁与x轴正方向夹角为θ，粒子在磁场中做圆周运动的半径大小为R₃，偏转一次后在y负方向偏移量为△y₁，由几何关系得：△y₁=2R₃cosθ，
为保证粒子最终能回到P，粒子与挡板碰撞后，速度方向应与PQ₁连线平行，每碰撞一次，粒子进出磁场在y轴上这段距离△y₂（如图中A、E间距）可由题给条件，
有$\frac{{△{y_2}/2}}{L/3}=tanθ$
得$△{y_2}=\frac{L}{3}$．
当粒子只碰二次，其几何条件是3△y₁-2△y₂=2L，
解得：${R_3}=\frac{{2\sqrt{5}}}{9}L$
粒子磁场中做匀速圆周运动：$qvB=m\frac{v^2}{R_3}$
解得：$v=\frac{{2\sqrt{5}qBL}}{9m}$．
答：（1）从Q₁直接到达Q₂处的粒子初速度大小为$\frac{\sqrt{5}qBL}{2m}$；
（2）从Q₁直接到达O点，粒子第一次经过x轴的交点坐标为（$\frac{1}{2}L$，0）；
（3）只与挡板碰撞两次并能回到P点的粒子初速度大小为$\frac{2\sqrt{5}qBL}{9m}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，对于三小问，关键作出三种粒子的轨迹图，结合几何关系，运用半径公式进行求解，难度较大，对数学几何的关系要求较高，需加强这方面的训练．